Fune, tensione e carrucola - 2

Sul calcolo della tensione in un sistema di tre casse

Tre casse di legno di masse $m_1 = 1,0 \ kg$ , $m_2 = 2,0 \ kg$ e $m_3 = 3,0 \ kg$ , sono disposte come in figura. Le casse sono collegate da una fune ideale ed inestensibile. Le tre casse sono trainate da una forza $F = 50 \ N$ applicata sulla cassa di massa $m_1$ . Assumendo che l’attrito tra le casse ed il piano sia trascurabile

Calcola la tensione della fune tra le casse di massa $m_2$ ed $m_3$

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura:

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulle casse:

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_1$ è:

$\begin{align*}& \vec{F} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_{12} = m_1\vec{a}_1\end{align*}$

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_2$ è:

$\begin{align*}& \vec{T}_{12} + \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_{21} = m_2\vec{a}_2\end{align*}$

La risultante delle forze per la cassa di massa $m_3$ è:

$\begin{align*}& \vec{T}_{23} + \vec{P}_3 + \vec{N}_3 + \vec{T}_{32} = m_3\vec{a}_3\end{align*}$

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

Per la cassa di massa $m_1$ abbiamo:

(1) $\begin{align*}& (x): F - T_{12} = m_1a_1\\& (y): N_1 - P_1 = 0 \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_2$ abbiamo:

(2) $\begin{align*}& (x): -T_{23} + T_{21} = m_2a_2\\& (y): N_2 - P_2 = 0 \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_3$ abbiamo:

(3) $\begin{align*}& (x): T_{32} = m_3a_3\\& (y): N_3- P_3 = 0 \end{align*}$

dove a compare solo nell’equazione lungo x perchè il corpo si muove solo lungo questo asse.

Le tensioni agli estremi della fune tra $m_1$ ed $m_2$ sono identiche, per cui:

$\begin{align*}T_{12} = T_{21} = T_1\\\end{align*}$

Allo stesso modo, le tensioni agli estremi della fune tra $m_2$ ed $m_3$ sono identiche, per cui:

$\begin{align*}T_{23} = T_{32} = T_2\\\end{align*}$

Inoltre, dal momento che le tre casse si muovono sempre con la stessa accelerazione, vale la relazione:

$\begin{align*} a_1 = a_2 = a_3 = a\\\end{align*}$

Esplicitiamo le espressioni delle forze in (1), (2) e (3) e mettiamo a sistema.

Per la cassa di massa $m_1$ otteniamo:

(4) $\begin{align*}\begin{cases}F - T_1 = m_1a_1\\N_1 = m_1g \end{cases} \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_2$ otteniamo:

(5) $\begin{align*}\begin{cases}T_1 - T_2 = m_2a_2\\N_2 = m_2g \end{cases} \end{align*}$

Per la cassa di massa $m_3$ otteniamo:

(6) $\begin{align*}\begin{cases}T_2 = m_3a_3\\N_3 = m_3g \end{cases} \end{align*}$

Considerando solo le equazioni lungo l’asse x nei sistemi (4), (5) e (6), otteniamo:

(7) $\begin{align*}\begin{cases}F - T_1 = m_1a_1\\T_1 - T_2 = m_2a_2\\T_2 = m_3a_3 \end{cases} \end{align*}$

Risolviamo il sistema sostituendo $T_2$ nella seconda equazione del sistema (7) e ricordandoci che le accelerazioni sono tutte uguali:

$\begin{align*}\begin{cases}F - T_1 = m_1a\\T_1 - m_3a = m_2a\\T_2 = m_3a \end{cases} \end{align*}$

$\begin{align*}\begin{cases}F - T_1 = m_1a\\T_1 = m_2a + m_3a\\T_2 = m_3a \end{cases} \end{align*}$

Sostituiamo $T_1$ nella prima equazione:

$\begin{align*}\begin{cases}F - m_2a + m_3a = m_1a\\T_1 = m_2a + m_3a\\T_2 = m_3a \end{cases} \end{align*}$

$\begin{align*}\begin{cases}F = (m_1 + m_2 + m_3)a\\T_1 = m_2a + m_3a\\T_2 = m_3a \end{cases} \end{align*}$

Dalla prima equazione ricaviamo l’espressione per l’accelerazione a:

$\begin{align*}a = \frac{F}{(m_1 + m_2 + m_3)}\end{align*}$

da cui, sfruttando la terza equazione del sistema (7), otteniamo:

$\begin{align*}T_2 = \frac{Fm_3}{(m_1 + m_2 + m_3)} = 25 \ N\end{align*}$