Urti e quantità di moto - 6

Sull’urto elastico di un oggetto in movimento ed uno fermo con masse uguali

Una biglia gialla di massa $M =1,2 \ kg$ e velocità iniziale $V_i = 1,5 \ m/s$ urta elasticamente contro una biglia rossa di massa $m = M = 1,2 \ kg$ inizialmente ferma, come mostrato in figura

Calcola le velocità finali $V_f$ e $v_f$ rispettivamente della biglia gialla e della biglia rossa

Soluzione

Innanzitutto ricordiamo che negli urti elastici si conservano sia la quantità di moto che l’energia cinetica! Quindi, possiamo scrivere:

$\begin{align*}\begin{cases}p_i = p_f \\K_i = K_f\end{cases}\end{align*}$

dove $p_i$ è la quantità di moto iniziale, $p_f$ è la quantità di moto finale, $K_i$ è l’energia cinetica iniziale e $K_f$ è l’energia cinetica finale.

Esplicitiamo le quantità di moto e le energie cinetiche:

$\begin{align*}\begin{cases}V_i = V_f + v_f \\[0.5em]\frac{1}{2}V_i^2 = \frac{1}{2}V_f^2 + \frac{1}{2}v_f^2\end{cases}\end{align*}$

dove abbiamo semplificato le masse $m$ ed $M$ dato che sono identiche.

Il sistema è facilmente risolvibile per sostituzione tramite dei semplici passaggi matematici. Ci limitiamo qui a dare le formule per calcolare le velocità $V_f$ e $v_f$ (le dimostrazioni sono lasciate al lettore!).

Risolvendo il sistema si ottiene che la velocità finale della biglia gialla è:

$V_f = \frac{(M-m)V_i}{M+m} = 0 \ m/s$

dato che $M = m$ .

La velocità finale della biglia rossa è:

$v_f = \frac{2MV_i}{M+m} = 1,5 \ m/s$

Nota bene! La biglia rossa inizierà a muoversi con una velocità $v_f = V_i$ mentre la biglia gialla rimarrà ferma $V_f = 0$ . In pratica, è come se le due biglie si fossero scambiate le velocità!