Urti e quantità di moto - 5

Sull’urto elastico di un oggetto in movimento ed uno fermo con masse molto diverse – Caso 2

Una biglia gialla di massa $M = 99 \ kg$ e velocità iniziale $V_i = 1,5 \ m/s$ urta elasticamente contro una biglia rossa di massa $m = 1,2 \ kg$ inizialmente ferma, come mostrato in figura

Calcola le velocità finali $V_f$ e $v_f$ rispettivamente della biglia gialla e della biglia rossa

Soluzione

Innanzitutto ricordiamo che negli urti elastici si conservano sia la quantità di moto che l’energia cinetica! Quindi, possiamo scrivere:

$\begin{align*}\begin{cases}p_i = p_f \\K_i = K_f\end{cases}\end{align*}$

dove $p_i$ è la quantità di moto iniziale, $p_f$ è la quantità di moto finale, $K_i$ è l’energia cinetica iniziale e $K_f$ è l’energia cinetica finale.

Esplicitiamo le quantità di moto e le energie cinetiche:

$\begin{align*}\begin{cases}MV_i = MV_f + mv_f \\[0.5em]\frac{1}{2}MV_i^2 = \frac{1}{2}MV_f^2 + \frac{1}{2}mv_f^2\end{cases}\end{align*}$

Il sistema è facilmente risolvibile per sostituzione tramite dei semplici passaggi matematici. Ci limitiamo qui a dare le formule per calcolare le velocità $V_f$ e $v_f$ (le dimostrazioni sono lasciate al lettore!).

Risolvendo il sistema si ottiene che la velocità finale della biglia gialla è:

$V_f = \frac{(M-m)V_i}{M+m} = 1,5 \ m/s$

Nota bene! La biglia gialla ha una massa $M$ molto più grande della massa $m$ della biglia rossa $M>>m$ e dopo l’urto è come se continuasse il suo moto alla stessa velocità $V_f = V_i$

La velocità finale della biglia rossa è:

$v_f = \frac{2MV_i}{M+m} = 3,0 \ m/s$

Nota bene! La biglia rossa ha una massa $m$ molto più piccola della massa $M$ della biglia gialla $m<<M$ e dopo l’urto si muove di una velocità pari a $v_f = 2V_i$