Urti e quantità di moto – 7

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Sull’urto elastico in due dimensioni

Una biglia rossa di massa m = 1,5 \ kg e velocità v_i = 2,1 \ m/s urta contro una biglia verde inizialmente ferma (V_i = 0) e di massa M = 3,2 \ kg. Dal momento che l’urto non è frontale, dopo l’urto la biglia rossa prosegue a velocità v_f = 0,7 \ m/s nella direzione mostrata in figura, ad un angolo 20^\circ rispetto alla direzione iniziale. Invece, la biglia verde si muoverà in una direzione che forma un angolo pari a \theta rispetto alla direzione iniziale

  • Calcola la velocità finale V_f della biglia verde
  • Calcola l’angolo \theta

[Suggerimento: Supponi che l’urto sia elastico]

Soluzione

Dal momento che l’urto elastico si conserva l’energia cinetica prima e dopo l’urto, quindi:

    \[K_i = K_f\]

Esplicitando le energie cinetiche otteniamo:

    \[\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{2}MV_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{2}MV_f^2\]

Ricordiamo che la biglia verde è inizialmente ferma (V_i = 0) per cui:

    \[\frac{1}{2}mv_i^2= \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{2}MV_f^2\]

e tramite semplici passaggi matematici, otteniamo:

    \[V_f = \sqrt{\frac{m(v_i^2 - v_f^2)}{M}} = 1,4 \ m/s\]

Per conoscere l’angolo \theta è necessario utilizzare la formula della conservazione della quantità di moto!

Consideriamo la seguente figura:

Dal momento che l’urto avviene in due dimensioni dobbiamo considerare le componenti della velocità lungo gli assi y ed x, per cui possiamo scrivere:

    \begin{align*}\begin{cases}mv_i = mv_f\cos 20^\circ + MV_f\cos \theta \\[0.5em]0 = -mv_f\sin 20^\circ + MV_f\sin \theta\end{cases}\end{align*}

Consideriamo, ad esempio, l’equazione lungo l’asse x:

    \[mv_i = mv_f\cos 20^\circ + MV_f\cos \theta\]

tramite dei semplici passaggi matematici otteniamo:

    \[\cos \theta = \frac{m(v_i-v_f\cos 20^\circ)}{MV_f}\]

per cui l’angolo \theta sarà:

    \[\theta = \cos^{-1}\bigg(\frac{m(v_i-v_f\cos 20^\circ)}{MV_f}\bigg) = 61^\circ\]