Urti e quantità di moto - 2

Sull’urto elastico di due oggetti che si muovono uno verso l’altro

Una biglia gialla di massa $M = 1,2 \ kg$ e velocità iniziale $V_i = 1,5 \ m/s$ urta elasticamente contro una biglia rossa di massa $m = 0,7 \ kg$ e di velocità in modulo $v_i = 0,8 \ m/s$ che si muove verso la biglia gialla, come mostrato in figura

Calcola le velocità finali $V_f$ e $v_f$ rispettivamente della biglia gialla e della biglia rossa

Soluzione

Innanzitutto ricordiamo che negli urti elastici si conservano sia la quantità di moto che l’energia cinetica! Quindi, possiamo scrivere:

$\begin{align*}\begin{cases}p_i = p_f \\K_i = K_f\end{cases}\end{align*}$

dove $p_i$ è la quantità di moto iniziale, $p_f$ è la quantità di moto finale, $K_i$ è l’energia cinetica iniziale e $K_f$ è l’energia cinetica finale.

Prima e dopo l’urto abbiamo:

$\begin{align*}\begin{cases}MV_i + mv_i = MV_f + mv_f \\[0.5em]\frac{1}{2}MV_i^2 + \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}MV_f^2 + \frac{1}{2}mv_f^2\end{cases}\end{align*}$

Il sistema è facilmente risolvibile per sostituzione tramite dei semplici passaggi matematici. Ci limitiamo qui a dare le formule per calcolare le velocità $V_f$ e $v_f$ (le dimostrazioni sono lasciate al lettore!).

Risolvendo il sistema si ottiene che la velocità finale della biglia gialla è:

$V_f = \frac{(M-m)V_i + 2mv_i}{M+m} = -0,2 \ m/s$

Nota bene! La biglia rossa ha una velocità iniziale $v_i$ negativa rispetto al sistema di riferimento utilizzato, per cui nella formula sostituiremo il valore $v_i = -0,8 \ m/s$ . Il risultato negativo di $V_f$ è coerente con il suo verso rispetto al sistema di riferimento scelto!

La velocità finale della biglia rossa è:

$v_f = \frac{(m-M)v_i + 2MV_i}{M+m} = 2,1 \ m/s$

Nota bene! Le stesse considerazioni fatte in precedenza sul segno di $v_i$ valgono anche in questo caso!