Urti e quantità di moto – 3

3

Sull’urto elastico di un oggetto in movimento ed uno fermo con masse simili

Una biglia gialla di massa M = 1,2 \ kg e velocità iniziale V_i = 1,5 \ m/s urta elasticamente contro una biglia rossa di massa m = 0,7 \ kg inizialmente ferma, come mostrato in figura

  • Calcola le velocità finali V_f e v_f rispettivamente della biglia gialla e della biglia rossa

Soluzione

Innanzitutto ricordiamo che negli urti elastici si conservano sia la quantità di moto che l’energia cinetica! Quindi, possiamo scrivere:

    \begin{align*}\begin{cases}p_i = p_f \\K_i = K_f\end{cases}\end{align*}

dove p_i è la quantità di moto iniziale, p_f è la quantità di moto finale, K_i è l’energia cinetica iniziale e K_f è l’energia cinetica finale.

Prima e dopo l’urto abbiamo:

    \begin{align*}\begin{cases}MV_i = MV_f + mv_f \\[0.5em]\frac{1}{2}MV_i^2 = \frac{1}{2}MV_f^2 + \frac{1}{2}mv_f^2\end{cases}\end{align*}

Il sistema è facilmente risolvibile per sostituzione tramite dei semplici passaggi matematici. Ci limitiamo qui a dare le formule per calcolare le velocità V_f e v_f (le dimostrazioni sono lasciate al lettore!).

Risolvendo il sistema si ottiene che la velocità finale della biglia gialla è:

    \[V_f = \frac{(M-m)V_i}{M+m} = 0,4 \ m/s\]

La velocità finale della biglia rossa è:

    \[v_f = \frac{2MV_i}{M+m} = 1,9 \ m/s\]