Urti e quantità di moto - 13

Sull’urto totalmente anelastico e la conservazione del momento angolare – Caso 2

Un disco pieno ed omogeneo di massa $M = 2,5 \ kg$ e raggio $R = 1,0 \ m$ libero di ruotare su un piano verticale rispetto ad un asse passante per il centro è inizialmente fermo. Ad un certo istante una pallina di massa $m = 0,2 \ kg$ urta in maniera totalmente anelastica sul bordo del disco colpendolo a velocità $v_i = 4,2 \ m/s$ , come mostrato in figura

Calcola la velocità angolare $\omega_f$ del sistema dopo l’urto

Soluzione

Dal momento che l’urto è completamente anelastico non si conserva l’energia cinetica, ma si conservano la quantità di moto e (dal momento che abbiamo un corpo in rotazione) il momento angolare.

Dal momento che stiamo trattando un oggetto in rotazione intorno ad un asse, usiamo la conservazione del momento angolare:

$L_i = L_f$

Esplicitiamo i momenti angolari iniziale e finale notando che a differenza dell’esercizio precedente anche la velocità $v_i$ della pallina contribuisce al momento angolare iniziale:

$mv_iR= (I + mR^2)\omega_f$

dove $I$ è il momento di inerzia che per un disco pieno ed omogeneo vale:

$I = \frac{1}{2}MR^2$

Sostituendo otteniamo quindi:

$mv_iR= \bigg(\frac{1}{2}MR^2 + mR^2\bigg)\omega_f$

e tramite un semplice passaggio matematico otteniamo:

$\omega_f = \frac{mv_iR}{\bigg(\frac{1}{2}MR^2 + mR^2\bigg)} = 0,6 \ rad/s$