Urti e quantità di moto - 12

Sull’urto totalmente anelastico e la conservazione del momento angolare – Caso 1

Un disco pieno ed omogeneo di massa $M = 2,5 \ kg$ e raggio $R = 1,0 \ m$ ruota su un piano orizzontale rispetto ad un asse passante per il centro con velocità angolare costante $\omega_i = 2,5 \ rad/s$ . Ad un certo istante una pallina di massa $m = 0,2 \ kg$ urta in maniera totalmente anelastica sul bordo del disco colpendolo a velocità $v_i = 4,2 \ m/s$ , come mostrato in figura

Calcola la velocità angolare $\omega_f$ del sistema dopo l’urto

Soluzione

Dal momento che l’urto è completamente anelastico non si conserva l’energia cinetica, ma si conservano la quantità di moto e (dal momento che abbiamo un corpo in rotazione) il momento angolare.

Dal momento che stiamo trattando un oggetto in rotazione intorno ad un asse, usiamo la conservazione del momento angolare:

$L_i = L_f$

Esplicitiamo i momenti angolari iniziale e finale ricordando che la velocità $v_i$ della pallina non contribuisce al momento angolare iniziale poiché parallela all’asse di rotazione:

$I\omega_i = (I + mR^2)\omega_f$

dove $I$ è il momento di inerzia che per un disco pieno ed omogeneo vale:

$I = \frac{1}{2}MR^2$

Sostituendo otteniamo quindi:

$\frac{1}{2}MR^2\omega_i = \bigg(\frac{1}{2}MR^2 + mR^2\bigg)\omega_f$

e tramite un semplice passaggio matematico otteniamo:

$\omega_f = \frac{\frac{1}{2}MR^2\omega_i}{\bigg(\frac{1}{2}MR^2 + mR^2\bigg)} = 2,2 \ rad/s$