Urti e quantità di moto – 11

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Sull’urto anelastico e la gittata

Considera la figura seguente in cui una pallina blu di massa M = 10 \ kg inizialmente ferma è attaccata ad una molla di costante elastica k = 96 \ N/m e compressa di \Delta x = 0,5 \ m. Ad un certo istante la molla viene lasciata libera e la pallina blu di massa M urta in maniera totalmente anelastica una seconda pallina rossa di massa m = 5,0 \ kg. Entrambe le palline si trovano inizialmente ad un’altezza h = 8,6 \ m

  • Calcola la distanza s in cui il sistema tocca il suolo

Soluzione

Innanzitutto è necessario calcolare la velocità V con cui la pallina di massa M urta la seconda pallina di massa m. Dal momento che nel tragitto non sono coinvolte forze non conservative possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia:

    \[\frac{1}{2}k\Delta x^2 = \frac{1}{2}MV^2\]

da cui otteniamo:

    \[V = \sqrt{\frac{k\Delta x^2}{M}} = 1,5 \ m/s\]

Dal momento che l’urto è anelastico si conserva solamente la quantità di moto:

    \[MV = (m+M)v_f\]

da cui:

    \[v_f = \frac{MV}{m+M} = 1,0 \ m/s\]

Per trovare la distanza s basta ricordarsi la definizione del tempo di volo:

    \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

che deve essere uguale al tempo necessario al sistema che si muove con velocità v_f per percorrere il tratto s, ovvero:

    \[t = \frac{s}{v_f}\]

In questo modo otteniamo l’uguaglianza:

    \[\frac{2h}{g} = \frac{s^2}{v_f^2}\]

da cui:

    \[s = \sqrt{\frac{2hv_f^2}{g}} = 1,3 \ m\]