Urti e quantità di moto – 10

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Sull’urto anelastico in due dimensioni

Una pallina rossa di massa m = 1,0 \ kg e velocità v = 1,4 \ m/s si scontra contro una pallina verde di massa M = m = 1,0 \ kg e velocità V = 0,8 \ m/s. Le direzioni del moto delle due palline sono perpendicolari tra loro, come mostrato in figura. Se l’urto è completamente anelastico

  • Calcola la velocità finale v_f

Soluzione

Dal momento che l’urto è totalmente anelastico non si conserva l’energia cinetica ma si conserva solamente la quantità di moto.

Dopo l’urto anelastico il sistema è formato dalla somma delle due masse, come mostrato in figura:

Dalla conservazione della quantità di moto possiamo scrivere:

(1)   \begin{align*}p_i = p_f\end{align*}

La quantità di moto finale p_f è pari a :

    \[p_f = (m+M)v_f\]

Per calcolare la quantità di moto iniziale totale scriviamo la somma della quantità di moto della pallina rossa e verde.

Esplicitiamo le componenti della quantità di moto della pallina rossa, che si muove solo lungo x:

    \[\vec{p}_r = (mv,0)\]

Esplicitiamo le componenti della quantità di moto della pallina verde, che si muove solo lungo y:

    \[\vec{p}_v = (0,MV)\]

La somma vettoriale delle due quantità di moto è:

    \[\vec{p}_i = \vec{p}_r + \vec{p}_v = (mv,MV)\]

Il modulo di \vec{p}_i è:

    \[p_i = \sqrt{(mv)^2 + (MV)^2} = 1,6 \ kg\cdot m/s\]

Dall’espressione (1) otteniamo quindi:

    \[p_i = (m+M)v_f\]

da cui, tramite un semplice passaggio matematico, otteniamo:

    \[v_f = \frac{p_i}{m+M} = 0,8 \ m/s\]