Urti e quantità di moto – 9

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Sulla molla e l’urto anelastico

Un proiettile di massa m = 2,5 \ kg e velocità v_i = 1,5 \ m/s compie un urto totalmente anelastico con una cassa di massa M = 1,0 \ kg inizialmente ferma. La cassa è attaccata ad una molla di costante elastica k. Se la massima compressione della molla è \Delta x = 2,5 \ cm

  • Calcola la costante elastica della molla k

Soluzione

Dal momento che l’urto è totalmente anelastico non si conserva l’energia cinetica ma si conserva solamente la quantità di moto.

Dopo l’urto anelastico il sistema si comprime di una quantità \Delta x come mostrato in figura:

Dalla conservazione della quantità di moto possiamo scrivere:

(1)   \begin{align*}mv_i = (m+M)v_f\end{align*}

Dopo l’urto sul sistema agiscono solamente forze conservative per cui vale il principio di conservazione dell’energia meccanica (o energia totale) ricordando che nel punto di massima compressione Delta x la velocità sarà nulla:

    \[E_i = E_f\]

per cui possiamo scrivere:

    \[\frac{1}{2}(m+M)v_f^2 = \frac{1}{2}k\Delta x^2 \]

Tramite un semplice passaggio matematico possiamo quindi ricavare l’espressione per la costante elastica k:

    \[k = \frac{(m+M)v_f^2}{\Delta x^2}\]

Dato che non conosciamo il valore numerico di v_f possiamo sostituirlo usando l’espressione (1):

    \[v_f = \frac{mv_i}{m+M}\]

da cui:

    \[k = \frac{(mv_i)^2}{(m+M)\Delta x^2} = 6,4 \cdot 10^3 \ N/m\]

Nota bene! Ricorda di convertire la compressione \Delta x in metri!