Trasformazione adiabatica - 3

Sull’espansione adiabatica

$n = 1,5$ moli di un gas perfetto biatomico si trovano all’interno di un contenitore isolato termicamente. Il volume iniziale del gas è $V_i = 3,4 \cdot 10^{-2} \ m^3$ . Se il gas compie un’espansione adiabatica e la temperatura varia dalla temperatura iniziale $T_i = 4,5 \cdot 10^3 \ K$ alla temperatura finale $T_f = 2,5 \cdot 10^3 \ K$

Calcola la pressione finale $P_f$

Soluzione

Innanzitutto, ricordiamo che la pressione e la temperatura in una trasformazione adiabatica sono legate dalla relazione seguente:

$T_i(P_i)^{\tfrac{1-\gamma}{\gamma}} = T_f(P_f)^{\tfrac{1-\gamma}{\gamma}}$

dove $\gamma$ è il coefficiente di dilatazione adiabatica che per un gas perfetto biatomico assume il valore:

$\gamma = \frac{c_P}{c_V} = \frac{7}{5}$

dove $c_p = (7/2)R$ è il calore specifico a pressione costante e $c_v = (5/2)R$ è il calore specifico a volume costante per un gas perfetto biatomico ed $R = 8,314 \ J/(mol \cdot K)$ la costante universale dei gas.

Per trovare la pressione finale basta isolare prima di tutto la variabile $P_f$ :

$(P_f)^{\tfrac{1-\gamma}{\gamma}} = \bigg(\frac{T_i}{T_f}\bigg)(P_i)^{\tfrac{1-\gamma}{\gamma}}$

Per le proprietà degli esponenti (o delle radici), possiamo elevare entrambi i membri a sinistra e destra dell’uguale per l’esponente:

$\frac{\gamma}{1-\gamma}$

per cui:

$\bigg((P_f)^{\tfrac{1-\gamma}{\gamma}}\bigg)^{\tfrac{\gamma}{1-\gamma}} = \bigg(\bigg(\frac{T_i}{T_f}\bigg)(P_i)^{\tfrac{1-\gamma}{\gamma}}\bigg)^{\tfrac{\gamma}{1-\gamma}}$