Primo Principio della Termodinamica - 7

Sulla variazione di energia interna dal piano di Clapeyron

Una mole di gas perfetto monoatomico compie il ciclo termodinamico mostrato in figura. La trasformazione per andare dallo stato $A$ allo stato $B$ è un’espansione isoterma, mentre la trasformazione per andare dallo stato $C$ allo stato $A$ è una compressione adiabatica.

Dimostra che in un ciclo termodinamico $\Delta U_{tot} = 0$

Soluzione

Calcoliamo la variazione di energia interna nelle tre trasformazioni. La variazione di energia interna per andare dallo stato $A$ allo stato $B$ è:

$\Delta U_{AB} = nc_v(T_B - T_A)$

Possiamo ricavarci le temperature sfruttando l’equazione di stato dei gas perfetti:

$PV = nRT$

da cui:

$T_A = \frac{P_AV_A}{nR}$

$T_B = \frac{P_BV_B}{nR}$

Quindi:

$\Delta U_{AB} = nc_v(T_B - T_A) = 6,0 \cdot 10^3 \ J$

La variazione di energia interna per andare dallo stato $B$ allo stato $C$ è:

$\Delta U_{BC} = nc_v(T_C - T_B)$

Possiamo ricavarci le temperature sfruttando l’equazione di stato dei gas perfetti:

$PV = nRT$

da cui:

$T_C = \frac{P_CV_C}{nR}$

Quindi:

$\Delta U_{BC} = nc_v(T_C - T_B) = -9,0 \cdot 10^3 \ J$

Dal momento che conosciamo le temperature dello stato $A$ e dello stato $C$ , la variazione di energia interna nella compressione adiabatica per andare dallo stato $C$ allo stato $A$ è:

$\Delta U_{CA} = nc_v(T_A - T_C) = 3,0 \cdot 10^3 \ J$

Quindi:

$\Delta U_{tot} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0 \ J$

Nota bene! Nel calcolo delle temperature non abbiamo messo i risultati numerici, perché ogni approssimazione fatta sulle temperature $T_A$ , $T_B$ e $T_C$ non permetterebbe di ottenere poi un valore della variazione di energia totale esattamente pari a zero.