Momento di una forza – 6

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Sul momento delle forze e l’attrito su di una parete

Un’asta di legno lunga L è tenuta in equilibrio orizzontale da una molla che forma un angolo \theta con l’asta e dalla forza di attrito che si esercita tra l’asta stessa ed il muro. Sia F_{el} = 3,5 \ N il modulo della forza elastica esercitata dalla molla e \mu_s = 0,5 il coefficiente di attrito statico tra muro ed asta.

  • Quanto vale il massimo valore dell’angolo \theta affinché l’asta rimanga in orizzontale?

Soluzione

Disegniamo le forze coinvolte:

All’equilibrio la risultante delle forze e dei momenti devono essere nulli per cui, lungo x ed y avremo:

    \begin{align*}\begin{cases}N - F_{el}cos\theta = 0 \\F_{attr} - P + F_{el}sin\theta = 0\end{cases}\end{align*}

Calcoliamo i momenti rispetto al punto di contatto tra la molla e l’asta assumendo che la forza peso sia applicata nel centro di massa del sistema che si troverà a distanza L/2 rispetto al punto di contatto. In figura sono riportati i versi di rotazione indotti dalle forze:

    \begin{align*}M_{tot} = - F_{attr}L + P\displaystyle \frac{L}{2}\end{align*}

da cui:

(1)   \begin{align*} F_{attr} = \displaystyle \frac{P}{2}\end{align*}

Se sostituiamo il valore appena trovato per la forza di attrito all’interno della risultante delle forze lungo l’asse y otteniamo:

    \[F_{el} = \displaystyle \frac{P}{2sin\theta}\]

che sostituita nell’espressione lungo l’asse x diventa:

    \[\displaystyle \frac{P}{2sin\theta}cos\theta - N = 0\]

ovvero

(2)   \begin{align*}N = \displaystyle \frac{P}{2tan\theta}\end{align*}

Sappiamo dalle precedenti lezioni di teoria che il valore massimo dell’attrito statico è:

    \[F_{attr,max} = \mu_sN\]

per cui, sostituendo l’espressione (1) e (2) otteniamo:

    \begin{align*}\displaystyle \frac{P}{2} = \mu_s\displaystyle \frac{P}{2tan\theta}\end{align*}

da cui si otteniene:

    \[tan\theta_{max} = \mu_s \]

e sostituendo i valori numerici:

    \[\theta_{max} = tan^{-1}(\mu_s) = 27^{\circ}\]