Legge di Coulomb – 9

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Sulla legge di Coulomb e l’equilibrio elettrostatico

Due cariche puntiformi di carica, rispettivamente, Q_1 = 2,5 \ \mu C e Q_2 = 9,5 \ \mu C sono disposte ad una distanza pari ad r = 15 \ cm, come mostrato in figura:

equilibrio elettrostatico
  • Trova la posizione di equilibrio elettrostatico lungo r di una terza carica elettrica positiva

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento tale che l’origine dell’asse x coincida con la posizione della carica Q_1, come mostrato in figura:

Nel momento in cui inseriamo una terza carica elettrica positiva q lungo r, questa sentirà una forza repulsiva sia ad opera della carica Q_1 che della carica Q_2 dato che entrambe sono positive. Ci possiamo aspettare che la carica q senta una forza repulsiva maggiore provenire dalla carica Q_2, avendo questa una carica maggiore rispetto a Q_1, quindi:

dove x è la distanza tra la carica q e la carica Q_1 ed r-x la distanza tra q e Q_2.

All’equilibrio:

    \begin{align*}\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0\end{align*}

Esplicitiamo i segni ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x ed il segno – se ha verso opposto:

    \begin{align*}F_1 - F_2 = 0\end{align*}

da cui:

    \begin{align*} k\frac{qQ_1}{x^2} - k\frac{qQ_2}{(r-x)^2} = 0\end{align*}

Semplifichiamo:

    \begin{align*} \frac{Q_1}{x^2} = \frac{Q_2}{(r-x)^2}\end{align*}

ottenendo:

    \begin{align*} Q_1(r-x)^2 = Q_2x^2\\Q_1r^2 -2Q_1rx + Q_1x^2 = Q_2x^2\end{align*}

La posizione di equilibrio si ottiene risolvendo l’equazione di secondo grado:

    \begin{align*}(Q_1 - Q_2)x^2 -2Q_1rx + Q_2r^2 = 0\end{align*}

da cui otteniamo due soluzioni per x. La soluzione corretta è quella positiva pari a:

    \begin{align*}x = 1,1 \ cm\end{align*}