Legge di Coulomb – 10

10

Sulla legge di Coulomb e la tensione

Due sfere metalliche identiche di carica q sono appese a due fili verticali di lunghezza d = 10 \ cm. I fili sono fissati al soffitto in due punti A e B distanti tra loro x = 1,0 \ cm. All’equilibrio i due fili formano un angolo \theta rispetto alla verticale per effetto della forza di Coulomb. Assumendo che la massa della due sfere sia pari a m = 26 \ g e la tensione della fune sia T = 0,83 \ N:

due cariche tensione funi
  • Calcola l’angolo \theta
  • Calcola il valore della carica q

Soluzione

Scegliamo un opportuno sistema di riferimento, come quello mostrato in figura:

Disegniamo le forze che agiscono su una delle due sfere:

La risultante delle forze all’equilibrio è:

    \begin{align*}\vec{F}_{elettr} + \vec{T} + \vec{P} = 0\end{align*}

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

    \begin{align*}& (x): F_{elettr} - T_x = 0\\& (y): T_y - P = 0 \end{align*}

dove:

    \begin{align*}& T_x = Tsin\theta \\& T_y = Tcos\theta \end{align*}

Esplicitiamo le forze in gioco:

(1)   \begin{align*}& (x): k\frac{q^2}{r^2} = Tsin\theta\\& (y): Tcos\theta = mg \end{align*}

Dalla seconda equazione in (1) otteniamo:

(2)   \begin{align*}\theta = cos^{-1}(\frac{mg}{T}) = 72^{\circ}\end{align*}

La distanza r tra le due sfere, mostrata in figura, è pari a:

    \begin{align*}r = x + 2dsin\theta = 0,2 \ m\end{align*}

Dalla prima equazione in (1) si ottiene:

(3)   \begin{align*}q = \sqrt{\frac{r^2Tsin\theta}{k}} = 1,9 \ \mu C \end{align*}