Lavoro ed Energia - 22

Un problema sulla molla e la conservazione dell’energia senza calcoli – 2

Consideriamo il problema precedente assumendo che il piano su cui poggia il corpo di massa $M$ sia scabro, ovvero è presente una forza di attrito. Assumiamo che il corpo sia inizialmente distante $d$ dal respingente e che si muova con velocità iniziale $v_0$ , come mostrato in figura.

Calcola la lunghezza minima raggiunta dalla molla del respingente

Soluzione

A differenza del problema precedente, in questo caso l’energia meccanica non si conserva perché il corpo è soggetto alla forza di attrito, ovvero una forza non conservativa.

L’energia meccanica iniziale è pari a:

$E_{ini} = \displaystyle \frac{1}{2}Mv_0^2$

La massima compressione della molla si ha quando la velocità finale dopo l’interazione tra corpo e respingente è nulla, per cui l’energia meccanica finale è semplicemente pari all’energia potenziale della molla:

$E_{fin} = \displaystyle \frac{1}{2}k(L_{min} - L_0)^2$

Essendoci una forza non conservativa, dobbiamo considerare anche il lavoro della forza di attrito:

$\mathcal{L}_{nc} & = \int \vec{F}_{attr} \cdot d\vec{s} = - F_{attr} \int \big|ds\big| = \\& = - F_{attr}(d+ L_0 - L_{min})$

In presenza di forze non conservative vale la relazione:

$E_{fin} - E_{ini} = \mathcal{L}_{nc}$

da cui:

$\displaystyle \frac{1}{2}k(L_{min} - L_0)^2 - \displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2 = - F_{attr}d - F_{attr}(L_0 - L_{min})$

Ricordiamo che:

$(L_{min} - L_0)^2 = [ - (L_0 - L_{min})]^2 = (L_0 - L_{min})^2$

Otteniamo quindi un’equazione di secondo grado con incognita $(L_0 - L_{min})$ :

$\displaystyle \frac{1}{2}k(L_0 - L_{min})^2 + F_{attr}(L_0 - L_{min}) + F_{attr}d - \displaystyle \frac{1}{2}Mv_0^2 = 0$

Le cui soluzioni sono:

$(L_0 - L_{min})_{1,2} = \displaystyle \frac{- F_{attr} \pm \sqrt{F_{attr}^2 -2k(F_{attr}d - \displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2)}}{k}$

La soluzione corretta è la soluzione positiva! Notiamo che se sotto la radice otteniamo un numero negativo vuol dire che il corpo si è fermato prima di toccare il respingente.