Lavoro ed Energia - 23

Sulla conservazione dell’energia ed il giro della morte

Una pallina di massa $m$ inizialmente ferma scivola da un’altezza $h$ lungo una guida priva di attrito, al termine della quale è presente un “giro della morte”, come mostrato figura. La parte circolare della guida ha raggio $R = 0,5 \ m$

[Suggerimento: La pallina rimane sempre all’interno della guida nella sezione circolare!]

Calcola l’altezza $h$ minima da cui deve partire la pallina per arrivare nel punto $P$ senza staccarsi dalla guida

Soluzione

Dal momento che la guida è priva di attrito e agiscono quindi solo forze conservative possiamo usare il principio di conservazione dell’energia:

$E_i = E_f$

con $E_i$ l’energia meccanica iniziale ed $E_f$ quella finale.

Ricordiamo che l’energia meccanica è definita come la somma dell’energia cinetica $K$ e dell’energia potenziale $U$ .

Inizialmente, la pallina è ferma ( $K_i = 0$ ) ed ha un’energia potenziale gravitazionale pari ad

$U_i = mgh$

Nel punto $P$ l’energia meccanica è definita come:

$E_P = \frac{1}{2}mv^2 + mgd$

dove $d$ è il diametro della parte circolare, ovvero:

$d = 2R$

Quindi possiamo scrivere:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mg2R$

Consideriamo ora le forze che agiscono sulla pallina quando questa si trova nel punto $P$ e disegniamole insieme ad un opportuno sistema di riferimento:

Sia la forza peso $\vec{P}$ che la reazione vincolare esercitata dalla guida $\vec{N}$ sono dirette nello stesso verso, per cui la risultante delle forze è:

$mg + N = ma$

Notiamo che, dal momento che la pallina sta percorrendo una traiettoria circolare, l’accelerazione $\vec{a}$ è pari all’accelerazione centripeta, ovvero:

$a = \frac{v^2}{R}$

per cui:

$mg + N = \frac{mv^2}{R}$

Dal momento che stiamo cercando l’altezza minima $h$ affinché la pallina raggiunga il punto $P$ possiamo assumere che la reazione vincolare $N$ sia nulla ed ottenere in questo modo il valore della velocità:

$v^2 = gR$

Sostituendo nell’equazione della conservazione dell’energia otteniamo:

$mgh_{min} = \frac{1}{2}mgR + mg2R$

da cui:

$h_{min} = \frac{5}{2}R = 1,3 \ m$