Lavoro ed Energia - 21

Un problema sulla molla e la conservazione dell’energia senza calcoli – 1

Consideriamo un corpo di massa $M$ che si muove con velocità $v_0$ costante verso un respingente privo di massa, come mostrato in figura.

Calcola la lunghezza minima raggiunta dalla molla del respingente

Soluzione

Dal momento che sul corpo agiscono solo forze conservative possiamo sfruttare il Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica.

L’energia meccanica iniziale è pari a:

$E_{ini} = \displaystyle \frac{1}{2}Mv_0^2$

Quando la molla del respingente raggiunge la lunghezza minima la velocità è nulla (o equivalentemente l’energia cinetica è nulla), per cui l’energia meccanica finale è:

$E_{fin} = \displaystyle \frac{1}{2}k(L_{min} - L_0)^2$

Sfruttando il principio di conservazione otteniamo:

$E_{min} = E_{fin} \rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}Mv_0^2 = \displaystyle \frac{1}{2}k(L_{min} - L_0)^2$

da cui:

$(L_{min} - L_0)^2 = \displaystyle \frac{M}{k}v_0^2$

Otteniamo quindi due soluzioni:

$\begin{align*}& (L_{min} - L_0) = + v_0\sqrt{\displaystyle \frac{M}{k}}\\& (L_{min} - L_0) = - v_0\sqrt{\displaystyle \frac{M}{k}}\end{align*}$

Dal momento che $L_{min}$ deve verificare $L_{min} < L_0$ , la soluzione corretta è la seconda per cui:

$L_{min} = L_0 - v_0\sqrt{\displaystyle \frac{M}{k}}$