Lavoro ed Energia - 14

Sulla conservazione della quantità di moto e dell’energia – L’urto elastico

Una palla da biliardo bianca di massa $m_1 = 1,1 \ kg$ si muove con velocità iniziale $v_{1,i} = 2,4 \ m/s$ verso un’altra palla da biliardo gialla di massa $m_2 = 1,4 \ kg$ . Dopo l’urto la palla da biliardo bianca si muove con velocità finale $v_{1,f}$

Calcola la velocità $v_{2,f}$ della palla da biliardo gialla dopo l’urto

Soluzione

Innanzitutto, ricordiamo che, negli urti, la quantità di moto totale del sistema si conserva, ovvero la quantità di moto prima dell’urto è uguale alla quantità di moto dopo l’urto. Quindi, se la quantità di moto è definita come:

$q = mv$

possiamo scrivere:

$m_1v_{1,i} = m_1v_{1,f} + m_2v_{2,f}$

dove a sinistra dell’uguale abbiamo imposto $v_{2,i} = 0$ perché la palla da biliardo gialla è inizialmente ferma.

Dal momento che abbiamo a che fare con un urto elastico anche l’energia cinetica si conserva, ovvero l’energia cinetica prima dell’urto è uguale all’energia cinetica dopo l’urto. Quindi:

$\frac{1}{2}m_1v_{1,i}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2,f}^2$

Notiamo che in quest’ultima espressione possiamo semplificare il termine $\frac{1}{2}$ e mettiamo a sistema le due equazioni ottenute:

$\begin{align*}\begin{cases}m_1v_{1,i} = m_1v_{1,f} + m_2v_{2,f} \\[0.5em]m_1v_{1,i}^2 = m_1v_{1,f}^2 + m_2v_{2,f}^2\end{cases}\end{align*}$

Nella prima equazione del sistema isoliamo $v_{1,f}$ :

$\begin{align*}\begin{cases}v_{1,f} = \dfrac{m_1v_{1,i} - m_2v_{2,f}}{m_1} \\[1.0em]m_1v_{1,i}^2 = m_1v_{1,f}^2 + m_2v_{2,f}^2\end{cases}\end{align*}$

Ora sostituiamo l’espressione trovata per $v_{1,f}$ nella seconda espressione:

$m_1v_{1,i}^2 = m_1\bigg(\frac{m_1v_{1,i} - m_2v_{2.f}}{m_1}\bigg)^2 + m_2v_{2,f}^2$

Tramite dei semplici passaggi matematici svolgiamo il quadrato ed isoliamo $v_{2,f}$ ottenendo:

$v_{2,f} = \frac{2m_2v_{1,i}}{\bigg(\frac{m_2^2}{m_1} + m_2\bigg)} = 2,1 \ m/s$