Lavoro ed Energia - 15

Sul piano inclinato, il lavoro delle forze non conservative e l’energia meccanica

Una cassa di massa $m$ inizialmente ferma si trova su di un piano inclinato di un angolo $\theta = 30^\circ$ ad un’altezza $h = 1,5 \ m$ . Il piano inclinato, lungo $L = 2,0 \ m$ , ha un coefficiente di attrito dinamico pari a $\mu_1 = 0,4$ fino alla prima metà del tragitto e $\mu_2$ nella seconda metà, come mostrato in figura. Se il corpo raggiunge la base del piano inclinato con velocità $v_f = 3,4 \ m/s$

Calcola il coefficiente di attrito dinamico $\mu_2$ nella seconda metà del tragitto

Soluzione

Notiamo che la cassa, inizialmente ferma, inizia a scendere per effetto della forza peso. Dal momento che è presente una forza di attrito, ovvero una forza non conservativa, sappiamo che non vale il principio di conservazione dell’energia totale, ma vale la seguente relazione:

(1) $\begin{align*}E_f - E_i = \mathcal{L}_{nc}\end{align*}$

dove $\mathcal{L}_{nc}$ è il lavoro della forza non conservativa, nel nostro caso la forza di attrito.

Esplicitiamo l’energia totale finale ed iniziale ed il lavoro della forza d’attrito:

$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv_f^2$

dove $K_f$ è l’energia cinetica finale ed $U_f = 0$ è l’energia potenziale finale.

$E_i = K_i + U_i = mgh$

dove $K_i = 0$ è l’energia cinetica iniziale che è nulla perché la cassa è inizialmente ferma ed $U_i$ è l’energia potenziale iniziale.

Ricordiamo che il lavoro è definito come il prodotto scalare tra lo spostamento e la forza, in questo caso la forza d’attrito.

Nel primo tratto di piano inclinato con coefficiente di attrito dinamico $\mu_1$ , il lavoro è:

$\mathcal{L}_1 = \vec{F}_{attr} \cdot \vec{s} = -\mu_1N\frac{L}{2}$

dove il segno meno “-” è dovuto al fatto che il verso della forza di attrito e dello spostamento $\vec{s}$ sono opposti, come mostrato in figura:

Il fattore $\frac{L}{2}$ è il modulo dello spostamento dato stiamo considerando la prima metà del tragitto in cui il coefficiente di attrito dinamico è $\mu_1$ .