Gravitazione – Soluzione – 8

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Sui satelliti in orbita circolare

Intorno ad un pianeta extrasolare sconosciuto una sonda spaziale percorre un’orbita circolare con velocità pari a 1,0 \times 10^3 \, m/s con un raggio orbitale pari a 4,3 \times 10^5 \, m. Una seconda sonda percorre un’orbita con velocità 1,8 \times 10^3 \, m/s.

  • Calcola il raggio dell’orbita percorsa dalla seconda sonda

Soluzione

Una sonda spaziale che percorre un’orbita circolare risente della forza centripeta e della forza di attrazione gravitazionale del pianeta extrasolare sconosciuto. Le due forze hanno la stessa direzione ma verso opposto, quindi:

    \begin{align*}F_{grav} - F_{centr} = 0\end{align*}

Sostituendo, per la sonda si trova:

    \begin{align*}\frac{GMm_1}{r_1^2} = \frac{m_1v_1^2}{r_1}\end{align*}

da cui:

(1)   \begin{align*}GM = r_1v_1^2\end{align*}

dove M è la massa del pianeta sconosciuto.

Allo stesso modo, per la seconda sonda abbiamo:

    \begin{align*}\frac{GMm_2}{r_2^2} = \frac{m_2v_2^2}{r_2}\end{align*}

da cui:

(2)   \begin{align*}GM = r_2v_2^2\end{align*}

Mettendo a confronto (1) e (2) otteniamo:

    \begin{align*}r_1v_1^2 = r_2v_2^2\end{align*}

Il raggio dell’orbita della seconda sonda è:

    \begin{align*}r_2 = \frac{r_1v_1^2}{v_2^2} = 1,33 \times 10^5 \, m\end{align*}