Forza elastica – 7

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Sul calcolo del tempo per raggiungere una velocità nota per una massa soggetta a forza elastica

Ad una molla di costante elastica $k = 3,5 \ N/m$ appesa al soffitto e di lunghezza a riposo $x_0 = 10 \ cm$ viene agganciato un peso di massa $m$ . La molla raggiunge quindi una lunghezza di $x = 60 \ cm$ .

Quanto vale la massa $m$ del peso?
Quanto tempo impiega la molla a raggiungere la lunghezza $x$ assumendo che arrivi con una velocità $v_f = 5,0 \ m/s$ ?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura:

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulla scatola:

La risultante delle forze è:

$\begin{align*}& \vec{F}_{e} + \vec{P} = 0\end{align*}$

Esplicitiamo i segni ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse y ed il segno – se ha verso opposto

$\begin{align*}F_e - P = 0\\\end{align*}$

Esplicitando le espressione delle forze:

(1) $\begin{align*}k \Delta x - mg = 0\\\end{align*}$

dove $\Delta x = x - x_0 = 50 \ cm = 0,5 \ m$ .

La massa m si ottiene dalla seguente relazione:

$\begin{align*} m = \frac{k \Delta x}{g} = 0,18 \ Kg\\\end{align*}$

Dall’equazione (1) possiamo ricavarci l’accelerazione nel momento in cui il peso sta scendendo:

$\begin{align*}k \Delta x - mg = - ma\\\end{align*}$

da cui:

$\begin{align*}a = g - \frac{k \Delta x}{m}\end{align*}$

Quindi:

$\begin{align*}t = \frac{v_f}{a} = 57 \ s\end{align*}$