Forza elastica – 6

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Sul calcolo della costante elastica in presenza di attrito dinamico

Si consideri il problema precedente e supponiamo di sostituire la scatola con una scatola di massa m = 0,5 \ kg tale che la scatola cominci a muoversi. Sia \mu_d = 0,1 il coefficiente di attrito dinamico e k = 73,6 \ N/m la costante elastica della molla.

  • Quanto tempo impiega la scatola a raggiungere la lunghezza di equilibrio della molla?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura ed utilizzato nel problema precedente (5):

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulla scatola:

La risultante delle forze è:

    \begin{align*}& \vec{F}_{e} + \vec{F}_{a} + \vec{P} + \vec{N} = m\vec{a}\end{align*}

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

    \begin{align*}& (x): F_a - F_e = - ma\\& (y): N - P = 0 \end{align*}

Esplicitando le espressione delle forze:

    \begin{align*}& (x): \mu_dN - k \Delta x = - ma\\& (y): N = mg \end{align*}

Sostituiamo N nell’espressione lungo (x):

(1)   \begin{align*}& (x): \mu_dmg - k \Delta x = - ma\\& (y): N = mg \end{align*}

Dall’espressione (1) otteniamo:

    \begin{align*} a = - \mu_dg + \frac{k \Delta x}{m} = 28,4 \ m/s^2\end{align*}

dove ricordiamo che è necessario convertire \Delta x in metri.

Dal momento che la scatola si muove di moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla:

(2)   \begin{align*}v_f^2 = 2a\Delta x\end{align*}

Sapendo che nel moto uniformemente accelerato:

    \begin{align*}v_f = at\end{align*}

sostituendo l’equazione (2) si ottiene:

    \begin{align*}2a\Delta x = a^2t^2\end{align*}

da cui:

(3)   \begin{align*}t = \sqrt{\frac{2 \Delta x}{a}} = 0,12 \ s\end{align*}