Forza elastica - 5

Sul calcolo della costante elastica in presenza di attrito

Una molla di costante elastica $k$ ha l’estremità di destra fissata al muro e l’estremità di sinistra fissata ad una scatola di massa $m = 5,0 \ kg$ che la comprime di $\Delta x = 20 \ cm$ . Tra la scatola ed il piano orizzontale è presente attrito e sia il coefficiente di attrito statico $\mu_s = 0,3$ tale che la scatola non si muova.

Quanto vale la costante elastica $k$ della molla?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura:

Disegniamo tutte le forze che agiscono sulla scatola:

La risultante delle forze è:

$\begin{align*}& \vec{F}_{e} + \vec{F}_{a} + \vec{P} + \vec{N} = 0\end{align*}$

Esplicitiamo i segni e dividiamo l’equazione in due equazioni, una lungo l’asse x ed una lungo l’asse y, ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x o y ed il segno – se ha verso opposto

$\begin{align*}& (x): F_a - F_e = 0\\& (y): N - P = 0 \end{align*}$

Esplicitando le espressione delle forze:

$\begin{align*}& (x): \mu_sN - k \Delta x = 0\\& (y): N = mg \end{align*}$

Sostituiamo N nell’espressione lungo (x):

(1) $\begin{align*}& (x): \mu_smg - k \Delta x = 0\\& (y): N = mg \end{align*}$

Dall’espressione (1) otteniamo:

$\begin{align*} k = \frac{\mu_smg}{\Delta x} = 74 \ N/m\end{align*}$

dove ricordiamo che è necessario convertire $\Delta x$ in metri.