Forza elastica - 12

Una molla di costante elastica $k$ si allunga di $x = 4,3 \ cm$ quando viene appeso un cubo di massa $m = 5,6 \ kg$ , come mostrato in figura.

Calcola il peso $M$ necessario affinché la molla abbia una frequenza di oscillazione $f = 15 \ Hz$

Innanzitutto, disegniamo le forze che agiscono sul peso ed un opportuno sistema di riferimento:

Scriviamo la risultante delle forze, dove poniamo l’accelerazione $a = 0$ dal momento che il sistema è all’equilibrio:

$F_{el} - P = 0$

Esplicitiamo le forze in gioco:

$\begin{align*}& F_{el} = kx \\& P = mg\end{align*}$

Sostituendo otteniamo:

$kx - mg = 0$

da cui possiamo ricavare la costante elastica della molla:

$k = \frac{mg}{x} = 1,3 \cdot 10^3 \ N/m$

Ma a cosa ci serve sapere la costante elastica $k$ ? Ricordiamo che la frequenza di oscillazione è definita come:

$\omega = 2\pi f$

dove $\omega$ , detta pulsazione, è definita come:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$

Sostituendo $\omega$ nella relazione della frequenza possiamo ottenere:

$\sqrt{\frac{k}{M}} = 2\pi f$

In questo modo, possiamo ricavare la massa $M$ :

$M = \frac{k}{(2\pi f)^2} = 0,15 \ kg$