Forza elastica – 13

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Sul periodo di oscillazione

Una cassa di massa m è collegata ad una molla di costante elastica k = 3,5 \cdot 10^5 \ N/m ed è poggiata su un piano orizzontale liscio. All’equilibrio la cassa si trova nella posizione x_0 = 0 e viene poi spostata nella posizione x_A = 45 \ cm come mostrato in figura. Se dopo un tempo t = 1,2 \ s la cassa torna nella posizione iniziale per effetto della molla

  • Calcola la massa m della molla

Soluzione

In assenza di forze non conservative, come ad esempio la forza di attrito tra piano e cassa, il moto che compie la cassa è un moto armonico.

Ricordiamo la definizione di pulsazione del moto armonico:

    \[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

Dal momento che conosciamo già il valore di k, ci basta calcolare quanto vale \omega per ricavare m dalla formula inversa:

    \[m = \frac{k}{\omega^2}\]

Il valore di \omega si può ricavare ricordando che il periodo T è definito come il tempo necessario per fare un’oscillazione completa. Nel momento in cui lasciamo la molla dal punto x_A, questa passerà per il punto di equilibrio x_0, arriverà fino al punto di massima compressione, tornerà al punto di equilibrio x_0 fino ad arrivare nuovamente al punto x_A e così via.

Quindi, il tempo t per andare da x_A ad x_0 rappresenta un quarto del periodo, ovvero:

    \[t = \frac{1}{4}T\]

da cui otteniamo:

    \[T = 4t = 4,8 \ s\]

Dal momento che:

    \[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

otteniamo dalla formula inversa:

    \[\omega = \frac{2\pi}{T} = 1,3 \ rad/s\]

e quindi:

    \[m = \frac{k}{\omega^2} = 2,0 \cdot 10^2 \ kg\]