Forza elastica - 11

Sulla molla ed il piano inclinato

Una cassa di massa $m = 6,4 \ kg$ è poggiata su di una molla di costante elastica $k = 6,5 \cdot 10^5 \ N/m$ inizialmente compressa di $x = 3,0 \ cm$ , come mostrato in figura. La cassa si stacca dalla molla con velocità $v_0$ e si muove lungo un piano inclinato di $\theta = 50^\circ$ fino a fermarsi ad un’altezza $h$ rispetto al punto da cui è partita

Calcola l’altezza $h$ raggiunta
Calcola la velocità iniziale $v_0$

Soluzione

Disegniamo innanzitutto le forze che agiscono sul corpo in movimento lungo il piano inclinato ed un opportuno sistema di riferimento:

Scriviamo le equazioni lungo gli assi ricordando che il corpo non si stacca dal piano inclinato, quindi l’accelerazione lungo l’asse y è nulla:

$\begin{align*}\begin{cases}- P_{\parallel} = ma \\N - P_{\perp} = 0\end{cases}\end{align*}$

Esplicitiamo le forze in gioco:

$\begin{align*}& P_{\parallel} = mg\sin \theta \\& P_{\perp} = mg \cos \theta\end{align*}$

da cui otteniamo:

$a = -g\sin \theta$

Nel momento in cui la cassa si stacca dalla molla con velocità $v_0$ , questa si muoverà di moto uniformemente accelerato con accelerazione $a$ data dalla precedente relazione. Il tratto di piano inclinato che percorrerà la cassa prima di fermarsi sarà quindi data dalla formula:

$v^2 - v_0^2 = 2ad$

dove $v = 0$ è la velocità finale e $d$ il tratto di strada percorso.

Dalla formula precedente, quindi, otteniamo che:

$v_0 = \sqrt{2gd\sin \theta }$

Per calcolare il valore di $d$ osserviamo la seguente figura:

Le due quantità sono collegate dalla relazione trigonometrica:

$d = \frac{h}{\sin \theta}$

Per calcolare $h$ , usiamo il principio di conservazione:

$K_i + U_i = K_f + U_f$

da cui:

$\frac{1}{2}kx^2 = mgh$

Quindi:

$h = \frac{kx^2}{2mg} = 4,7 \ m$

da cui:

$v_0 =\sqrt{2gd\sin \theta } = \sqrt{2g\sin \theta \frac{h}{\sin \theta}} = \sqrt{2gh} = 9,6 \ m/s$

Osserviamo che potevamo arrivare allo stesso risultato considerando il principio di conservazione dal momento in cui il corpo si stacca fino a quando non si ferma all’altezza $h$ , per cui:

$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh$

da cui:

$v_0 = \sqrt{2gh}$