Forza elastica – 10

10

Sulla forza applicata a due molle in serie

Due molle di costante elastica $k_1 = 35 \ N/m$ e $k_2 = 20 \ N/m$ sono disposte in serie su di un piano orizzontale come mostrato in figura. Sia $x_{0,1} = 5,0 \ cm$ la lunghezza a riposo della molla con costante elastica $k_1$ ed $x_{0,2} = 10 \ cm$ la lunghezza a riposo della molla con costante elastica $k_2$ . Alla molla con costante elastica $k_2$ viene applicata una forza $F$ tale che la lunghezza complessiva raggiunta è $x = 80 \ cm$

Quanto vale l’intensità della forza $F$ ?
Quanto valgono gli allungamenti di ciascuna delle due molle?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento opportuno, come quello mostrato in figura:

Disegniamo tutte le forze che agiscono sul peso, considerando una molla equivalente con costante elastica $k_{tot}$ . Ricordiamo che se abbiamo due molle in serie vale la seguente relazione:

$\begin{align*}\frac{1}{k_{tot}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\end{align*}$

da cui:

$\begin{align*}k_{tot} = \frac{k_1k_2}{k_1 + k_2} = 12,7 \ N/m\end{align*}$

La risultante delle forze è:

$\begin{align*}& \vec{F}_{e} + \vec{P} = 0\end{align*}$

Esplicitiamo i segni ricordando che prendiamo il segno + se il vettore ha lo stesso verso dell’asse x ed il segno – se ha verso opposto:

$\begin{align*}- F_e + F = 0\\ \end{align*}$

$\begin{align*}- k_{tot} \Delta x + F = 0\\ \end{align*}$

Dal momento che la lunghezza iniziale del sistema è pari alla somma delle lunghezze a riposo delle due molle, ovvero:

$\begin{align*}x_{0,tot} = x_{0,1} + x_{0,2} = 0,15 \ m\end{align*}$

Se la lunghezza finale dell’intero sistema è $x = 80 \ cm = 0,8 \ m$ , allora:

$\begin{align*}\Delta x = 0,8 - 0,15 = 0,65 \ m \end{align*}$

Quindi:

$\begin{align*}F = k_{tot} \Delta x = 8,2 \ N\end{align*}$

Gli allungamenti di ciascuna molla si trovano dalle relazioni:

$\begin{align*}F = k_1 \Delta x_1 \end{align*}$

(1) $\begin{align*}\Delta x_1 = \frac{F}{k_1} = 0,23 \ m \end{align*}$

$\begin{align*}F = k_2 \Delta x_2 \end{align*}$

(2) $\begin{align*}\Delta x_2 = \frac{F}{k_2} = 0,41 \ m \end{align*}$