Entropia – 7

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Sulla variazione di entropia in una trasformazione isoterma irreversibile

Una mole di gas perfetto monoatomico a contatto con una sorgente a temperatura T_A = 280 \ K subisce una compressione isoterma irreversibile dallo stato A allo stato B in cui dimezza il suo volume subendo un lavoro pari in modulo a |\mathcal{L}_{AB}| = 2,50 \cdot 10^3 \ J

  • Calcola la variazione di entropia del gas \Delta S_{gas}
  • Calcola la variazione di entropia dell’ambiente \Delta S_{amb}

Soluzione

Innanzitutto, ricordiamo che per il Primo Principio della Termodinamica vale la seguente relazione:

    \[\mathcal{L}_{AB} = Q_{AB} - \Delta U_{AB}\]

In una trasformazione isoterma la variazione di energia interna è nulla:

    \[\Delta U_{AB} = 0 \ J\]

Di conseguenza:

    \[Q_{AB} = \mathcal{L}_{AB} = - 2,50 \cdot 10^3 \ J\]

dove il lavoro \mathcal{L}_{AB} è negativo perché viene subìto dal gas.

La variazione di entropia del gas per una trasformazione isoterma è:

    \[\Delta S_{gas} = nR\ln\bigg(\frac{V_B}{V_A}\bigg) = nR\ln\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = -5,76 \ J/K\]

dove n è il numero di moli ed R è la costante universale dei gas pari a R = 8,31 \ J/(mol \cdot K) e ricordiamo che il volume si dimezza, ovvero V_B = (1/2)V_A.

La variazione di entropia dell’ambiente si ottiene tenendo in considerazione il calore Q_{AB} che viene ceduto dal gas alla sorgente:

    \[\Delta S_{amb} = - \frac{Q_{AB}}{T_A} = 8,93 \ J/K\]

Osserviamo che ogni trasformazione irreversibile aumenta l’entropia dell’universo, ovvero:

    \[\Delta S_{univ} > 0\]

Dal momento che la variazione di entropia totale dell’universo non è nient’altro che la somma delle variazioni dell’entropia totale del gas e dell’entropia totale dell’ambiente, nel nostro caso:

    \[\Delta S_{univ} = \Delta S_{gas} + \Delta S_{amb} = 3,17 \ J/K > 0\]