Entropia – 8

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Sulla variazione di entropia in un ciclo irreversibile

Una mole di gas perfetto monoatomico compie un ciclo irreversibile formato dalle seguenti trasformazioni:

  • Espansione libera dallo stato A allo stato B in cui raddoppia il volume
  • Compressione adiabatica irreversibile dallo stato B allo stato C
  • Compressione isoterma reversibile dallo stato C allo stato D in cui raggiunge V_D = (1/4)V_C
  • Trasformazione adiabatica dallo stato D allo stato A che riporta il sistema nello stato iniziale
  • Calcola la variazione di entropia del gas \Delta S_{gas} nella trasformazione dallo stato B allo stato C

[Nota bene: Le trasformazioni irreversibili sono rappresentate da linee tratteggiate]

Soluzione

Innanzitutto, ricordiamo che in un ciclo termodinamico la variazione di entropia totale del gas è nulla:

    \[\Delta S_{gas} = \Delta S_{AB} + \Delta S_{BC} + \Delta S_{CD} + \Delta S_{DA} = 0 \ J/K\]

Calcoliamo le variazioni di entropia in ogni singola trasformazione:

    \[\Delta S_{AB} = nR\ln\bigg(\frac{V_B}{V_A}\bigg) = nR\ln 2 = 5,76 \ J/K\]

La trasformazione dallo stato B allo stato C è una compressione adiabatica irreversibile. Se la compressione adiabatica fosse stata reversibile la variazione di entropia del gas sarebbe stata nulla, ma in questo caso, come vediamo anche dalla linea tratteggiata nel grafico, l’entropia del sistema aumenta perché la trasformazione è irreversibile.

Calcoliamo per il momento la variazione di entropia delle altre trasformazioni. La variazione di entropia dallo stato C allo stato D è una compressione isoterma reversibile in cui il volume si riduce di 1/4, per cui:

    \[\Delta S_{CD} = nR\ln\bigg(\frac{V_D}{V_C}\bigg) = nR\ln\frac{1}{4} = -11,5 \ J/K\]

La variazione di entropia dallo stato D allo stato A è nulla perché abbiamo a che fare con una trasformazione adiabatica reversibile:

    \[\Delta S_{DA} = 0 \ J/K\]

Per rispondere alla domanda e calcolare la variazione di entropia nella trasformazione dallo stato B allo stato C sfruttiamo il fatto che in un ciclo la variazione di entropia totale del gas è nulla, per cui:

    \[\Delta S_{AB} + \Delta S_{BC} + \Delta S_{CD} + \Delta S_{DA} = 0 \ J/K\]

da cui possiamo ricavare:

    \[\Delta S_{BC} = - \Delta S_{AB} - \Delta S_{CD} - \Delta S_{DA} = 5,74 \ J/K\]