Dinamica dei sistemi – 8

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Sul calcolo della tensione

Una cassa di massa m = 3,3 \ kg è attaccata ad una fune che passa per una carrucola come mostrato in figura. La carrucola è approssimabile ad un disco di massa M = 1,2 \ kg e raggio R = 0,4 \ m. L’altra estremità della fune è tirata da una forza di modulo F = 12 \ N

  • Calcola la tensione tra la carrucola e la cassa

Soluzione

Innanzitutto, consideriamo le forze che agiscono sulla cassa e disegniamo un opportuno sistema di riferimento:

Scriviamo la risultante delle forze lungo gli assi x ed y:

    \begin{align*}\begin{cases} T = ma \\N = P\end{cases}\end{align*}

Nel nostro caso, dal momento che solo la tensione \vec{T} contribuisce al moto della cassa, utilizzeremo solamente l’equazione lungo l’asse x.

Consideriamo ora l’equazione dei momenti per quanto riguarda la carrucola, notando che la forza F produce un momento torcente positivo, mentre la tensione T un momento torcente negativo, come mostrato in figura:

Quindi:

    \[RF - RT = I\alpha\]

Ricordiamo che il momento di inerzia di un disco di massa M e raggio R rispetto ad un asse passante per il centro è:

    \[I = \frac{1}{2}MR^2\]

mentre possiamo riscrivere l’accelerazione angolare come:

    \[\alpha = \frac{a}{R}\]

per cui l’equazione dei momenti diventa:

    \[RF - RT = \frac{1}{2}MR^2\frac{a}{R} = \frac{1}{2}MRa\]

Dall’equazione T = ma otteniamo la formula inversa:

    \[a = \frac{T}{m}\]

e sostituendo nell’equazione dei momenti otteniamo:

    \[RF - RT = \frac{1}{2}MR\frac{T}{m}\]

da cui, tramite semplici passaggi matematici, otteniamo:

    \[T = \frac{2mF}{M+2m} = 10 \ N\]