Dinamica dei sistemi – 9

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Sul calcolo dell’energia cinetica di un’asta ed il Teorema di Huygens – Steiner

Un’asta orizzontale lunga L e di massa m = 3,6 \ kg viene fatta ruotare rispetto ad un’asse passante per una delle sue estremità, con velocità v = 1,2 \ m/s, come mostrato in figura:

  • Calcola l’energia cinetica dell’asta

Soluzione

Innanzitutto, ricordiamo il momento di inerzia di un’asta lunga L e di massa m rispetto ad un asse passante per il centro:

    \[I_c = \frac{1}{12}mL^2\]

Se vogliamo calcolare il momento di inerzia dell’asta rispetto ad un altro asse parallelo all’asse passante per il centro basta applicare il Teorema di Huygens-Steiner per cui:

    \[I = I_c + md^2\]

dove d è la distanza tra l’asse passante per il centro e l’asse rispetto al quale vogliamo calcolare il momento di inerzia. Nel nostro caso:

per cui:

    \[d = \frac{L}{2}\]

e l’equazione diventa:

    \[I = \frac{1}{12}mL^2 + m\frac{L^2}{4} = \frac{1}{3}mL^2\]

L’energia cinetica di un oggetto in rotazione è:

    \[K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}\frac{1}{3}mL^2\omega^2\]

Non avendo informazioni sulla velocità angolare \omega ma solo sulla velocità possiamo sfruttare la relazione:

    \[v = \omega L\]

dove L, ovvero la lunghezza dell’asta, è il raggio della circonferenza descritta quando questa è messa in rotazione:

Per cui:

    \[\omega = \frac{v}{L}\]

e sostituendo nell’espressione dell’energia cinetica otteniamo:

    \[K = \frac{1}{2}\frac{1}{3}mL^2\frac{v^2}{L^2} = \frac{1}{6}mv^2 = 0,86 \ J\]