Dinamica dei sistemi - 7

Sul calcolo dell’accelerazione angolare

Consideriamo la figura seguente in cui una carrucola di raggio $R = 1,5 \ m$ e momento di inerzia $I = 0,4 \ kg \cdot m^2$ ruota per effetto del momento torcente applicato da una corda ai cui estremi sono attaccati due pesi di massa, rispettivamente, $m_1 = 4,2 \ kg$ ed $m_2 = 6,1 \ kg$

Calcola l’accelerazione angolare $\alpha$ della carrucola

Soluzione

Innanzitutto disegniamo le forze che agiscono sui due pesi e due opportuni sistemi di riferimento per il peso di massa $m_1$ ed il peso di massa $m_2$ :

Scriviamo la risultante delle forze per i due pesi:

$\begin{align*}\begin{cases}- m_1g + T_1 = m_1a_1 \\m_2g - T_2 = m_2a_2\end{cases}\end{align*}$

Osserviamo che le accelerazioni con cui si muovono i due pesi devono essere identiche, ovvero:

$a_1 = a_2 = a$

La carrucola ruota per effetto della tensione esercitata ai capi della corda, in particolare la rotazione è dovuta al fatto che il peso di massa $m_2$ è più pesante rispetto a quello di massa $m_1$ .

Per il secondo principio della dinamica per il moto di rotazione vale la seguente relazione:

$M = I\alpha$

dove $M$ è la somma dei momenti torcenti che agiscono sulla carrucola, ovvero:

$M = T_2R - T_1R$

dove $T_2$ è positivo perché diretto nello stesso verso di rotazione della carrucolare e $T_1$ è negativo perché diretto in verso opposto.

Riassumendo, le espressioni trovate sono le seguenti:

(1) $\begin{align*}\begin{cases}- m_1g + T_1 = m_1a \\m_2g - T_2 = m_2a \\I\alpha = T_2R - T_1R\end{cases}\end{align*}$

Dalle prime due equazioni del sistema possiamo ricavarci i valori di $T_1$ e di $T_2$ :

$\begin{align*}\begin{cases}T_1 = m_1a + m_1g \\T_2 = -m_2a + m_2g\end{cases}\end{align*}$

Ricordiamo ora che l’accelerazione angolare $\alpha$ è definita come:

$\alpha = \frac{a}{R}$

per cui sostituendo quest’ultima espressione e le espressioni delle tensioni all’interno della terza equazione del sistema (1), otteniamo:

$I\frac{a}{R} = (-m_2a + m_2g)R - (m_1a + m_1g)R$

da cui, tramite semplici passaggi matematici, si ottiene:

$a = \frac{(m_2-m_1)g}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}} = 1,8 \ m/s^2$

L’accelerazione angolare sarà dunque:

$\alpha = \frac{a}{R} = 1,2 \ rad/s^2$