Dinamica dei sistemi - 10

Sul calcolo dell’altezza per un moto di rototraslazione

Una sfera piena di massa $m = 0,8 \ kg$ e raggio $R$ viene lanciata con velocità iniziale $v_i = 2,1 \ m/s$ e raggiunge l’estremità di una rampa con velocità $v_f = 1,8 \ m/s$ ad altezza $h$ , come mostrato in figura:

Calcola l’altezza $h$

Soluzione

Dal momento che il moto è di puro rotolamento senza strisciamento possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia:

$E_i = E_f$

Nel nostro caso, dato che abbiamo una rototraslazione, l’energia cinetica sarà pari alla somma dell’energia cinetica traslazionale del centro di massa più l’energia cinetica rotazionale, ovvero:

$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

Il principio di conservazione dell’energia diventa quindi:

$\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{2}I\omega_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{2}I\omega_f^2 + mgh$

Il momento di inerzia di una sfera piena di massa $m$ e raggio $R$ è :

$I = \frac{2}{5}mR^2$

Quindi, sostituendo:

$\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{5}mR^2\omega_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{5}mR^2\omega_f^2 + mgh$

Dal momento che non abbiamo informazioni sulla velocità angolare $\omega$ possiamo utilizzare la seguente relazione valida nel caso di puro rotolamento (ovvero rotolamento senza strisciamento):

$v = \omega R$

da cui:

$\omega = \frac{v}{R}$

per cui:

$\frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{5}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{5}mv_f^2 + mgh$

Semplificando $m$ ed isolando la variabile che ci interessa, ovvero $h$ , otteniamo:

$h = \frac{7(v_i^2 - v_f^2)}{10g} = 8,3 \ cm$