Dinamica dei sistemi - 11

Sul Teorema di Huygens – Steiner

Una sfera piena ed omogenea di massa $m = 2,70 \ kg$ e di raggio $R = 0,90 \ m$ è legata ad un filo di lunghezza $L = 1,10\ m$ fissato ad un perno all’altra estremità. Al centro della sfera viene applicata una forza $F$ che mette in rotazione la sfera. Se la sfera è inizialmente ferma e raggiunge poi una velocità angolare pari ad $\omega = 2,10 \ rad/s$ in $t = 20,0 \ s$

Calcola il modulo della forza $F$

Soluzione

Innanzitutto, ricordiamo che il momento di inerzia di una sfera piena ed omogenea rispetto ad un asse passante per il centro è:

$I_c = \frac{2}{5}mR^2$

Se vogliamo calcolare il momento di inerzia rispetto ad un altro asse parallelo all’asse passante per il centro basta applicare il Teorema di Huygens-Steiner per cui:

$I = I_c + md^2$

dove $d$ è la distanza tra l’asse passante per il centro della sfera e l’asse rispetto al quale vogliamo calcolare il momento di inerzia. In questo caso, $d = L$ , per cui:

$I = I_c + mL^2 = \frac{2}{5}mR^2 + mL^2 = 4,10 \ kg \cdot m^2$

Con i dati forniti dal problema possiamo poi calcolarci l’accelerazione angolare $\alpha$ , infatti:

$\alpha = \frac{\omega}{t} = 0,10 \ rad/s^2$

In questo modo, l’espressione del momento della forza è:

$M = I\alpha = 0,41 \ N \cdot m$

da cui poi otteniamo il valore di $F$ ricordando la relazione che lega il momento di una forza con la forza stessa, ovvero:

$M = Fb$

dove $b$ è detto anche braccio della forza (per qualsiasi dubbio controlla gli esercizi sul momento di una forza!). Dalla formula inversa ricaviamo:

$F = \frac{M}{b} = 0,36 \ N$