Relatività Ristretta - 7

Sul calcolo della velocità nota la contrazione della lunghezza

Una sbarra metallica viene vista muoversi alla velocità $u$ e la sua lunghezza misurata è pari a 1 $4,7 \, m$ .
La stessa sbarra viene poi nuovamente osservata muoversi, ma ora a velocità tripla, misurando $12,0 \, m$ .

Calcola la velocità $u$ .
Calcola la lunghezza propria della sbarra.

Soluzione

Scriviamo le leggi che regolano la lunghezza della sbarra: dato che viene vista in movimento, le lunghezze misurate non sono la sua lunghezza propria, che sarà quindi maggiore di quelle date per le leggi della relatività.

Quindi:

$\begin{align*}&L_0 = \gamma L\\&L_0 = \gamma_3 L_3\end{align*}$

dove indichiamo con $\gamma_3$ il fattore gamma relativo alla velocità tripla, $L = 14,7 \, m$ la lunghezza condizionata dal fattore $\gamma$ , e $L_3 = 12,0 \, m$ la lunghezza condizionata dal $\gamma_3$ .

Essendo entrambi uguali a $L_0$ si ha:

$\begin{align*}\gamma L &= \gamma_3 L_3\\&\rightarrow \ \frac{\gamma}{\gamma_3} = \frac{L_3}{L} = a \quad (a=0,82)\end{align*}$

$\begin{align*}&\frac{\sqrt{\displaystyle 1- \frac{(3u)^2}{c^2}}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{u^2}{c^2}}} = a \ \rightarrow \ 1- \frac{(3u)^2}{c^2} = a^2\bil(1-\frac{u^2}{c^2}\bigr)\\[0.9em]&\rightarrow \ u^2(a^2-9) = c^2(a^2 -1)\\[0.3em]&\rightarrow \ u = c\sqrt{\displaystyle \frac{a^2 -1}{a^2-9}} = 0,198c \approx 0,2c\end{align*}$

Si ricava infinte la lunghezza propria:

$L_0 = \gamma L = \frac{L}{\displaystyle \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} = 15,0 \,m$