Relatività Ristretta - 5

Sul calcolo della vita media di un muone

I muoni sono particelle prodotte dalle collisioni tra raggi cosmici e atmosfera terrestre. Vengono creati negli strati esterni dell’atmosfera come risultato del decadimento di altre particelle, i pioni.
I muoni hanno una vita media di circa $2,2 \, \mu s = 2,2 \times 10^{-6} \, s$ e viaggiano ad una velocità di circa $0,999c$ .
Questo significa che in media potrebbero percorrere distanze di circa $d=vt=660 \, m$ prima di decadere, eppure vengono tranquillamente osservati sulla superficie terrestre, dopo aver percorso migliaia di kilometri. L’effetto della relatività è quello di dilatare la vita media del muone per un osservatore a terra, consentendo la loro rivelazione.

Considera un muone che viene creato ad una quota di $4600 \,m$ e che viaggia verso il suolo ad una velocità di $0,999c$ .

Calcola la vita media del muove per un osservatore a terra.
Calcola quanto spazio potrebbe ancora percorrere dopo aver toccato il suolo.

Soluzione

Il tempo proprio è la vita media del muone nel sistema di riferimento in quiete con esso, dove creazione e decadimento avvengono nello stesso luogo: $\Delta t_0 = 2,2\times 10^{-6} \,s$ .

Per un osservatore a terra questo tempo sarà dilatato di un fattore $\gamma$ :

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\Bigl(\displaystyle \,\frac{v}{c}\,\Bigr)^2}} = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1-\Bigl(\,\frac{0,999c}{c}\,\Bigr)^2}} = 22,4$

da cui:

$\Delta t = \gamma \Delta t_0 = 4,9 \times 10^{-5} \, s$

Questo tempo di vita consente al muove di percorrere distanze di circa:

$d = v\Delta t = 14685 \, m$

Considerando che questo muone è stato creato a $4600 \,m$ , dopo aver toccato il suolo potrebbe percorrere ancora $14685 - 4600 \,m = 10085 \,m$ .
La quota a cui vengono creati i primi muoni è infatti di circa $15 \, km$ e sono osservabili a terra, seppur avendo una propria vita media brevissima.