Moto circolare uniformemente accelerato - 2

Sull’accelerazione angolare

Una giostra inizia a ruotare e raggiunge la velocità massima di $180^\circ/s$ dopo 4 secondi.

Calcola l’accelerazione angolare

Al termine del turno viene quindi rallentata, compiendo 4 giri prima di fermarsi completamente.

Calcola il valore della decelerazione

Soluzione

La velocità massima raggiunta è $\omega(t) = \omega_{max} = 180^\circ/s = \pi \ rad/s$ .

Dalle leggi del moto circolare uniformemente accelerato, sapendo che parte da ferma ( $\omega_0 = 0$ ):

$\begin{align*}\omega(t) &=\omega_{max}= \omega_0 + \alpha t = 0 + \alpha t \\[1em]&\rightarrow \ \alpha = \frac{\omega_{max}}{t} = \frac{\pi}{4} \ \frac{rad}{s^2}\end{align*}$

In fase di decelerazione chiamiamo l’accelerazione $\alpha^*$ e la velocità angolare finale è $\omega(t) = 0$ , mentre la velocità iniziale è quella massima:

$\begin{align*}\omega(t) &= \omega_0 - \alpha t \\[1em]0 &= \omega_{max} - \alpha^* t \\[1em]&\rightarrow \ t = \frac{\omega_{max}}{\alpha^*}\end{align*}$

Sapendo infine che durante la decelerazione compie 4 giri completi, usiamo la legge oraria sostituendo il $t$ ricavato sopra:

$\begin{align*}\theta(t) &= \theta_0 + \omega_0 t - \frac{1}{2}\alpha^* t^2 \\[1em]4(2\pi) &= 0 + \omega_{max}\frac{\omega_{max}}{\alpha^*} - \frac{1}{2}\alpha^*(\frac{\omega_{max}}{\alpha^*})^2 = \frac{\omega_{max}^2}{2\alpha^*} \\[1em]&\rightarrow \ \alpha^* = \frac{\omega_{max}^2}{32\pi} = \frac{\pi^2}{32\pi} \frac{(rad/s)^2}{rad} = \frac{\pi}{32} \ \frac{rad}{s^2}\end{align*}$

dove $\theta_0 = 0$ è l’angolo di riferimento iniziale arbitrario, che per comodità prendiamo uguale a 0.