Moto circolare uniformemente accelerato - 11

Due palline in moto circolare uniformemente accelerato

Una pallina blu ed una pallina rossa inizialmente ferme si trovano alla distanza angolare $\Delta \theta = \pi$ , come mostrato in figura. Se la pallina blu inizia a muoversi con accelerazione angolare costante $\apha_B = 0,8 \ rad/s^2$ e la pallina rossa con accelerazione angolare costante $\alpha_R = 1,2 \rad/s^2$

Calcola dopo quanto tempo $t$ la pallina rossa raggiunge la pallina blu
Se l’accelerazione angolare della pallina rossa è $\alpha_R = 0,5 \ rad/s^2$ riuscirà a raggiungere la pallina blu?

Soluzione

Per rispondere è necessario ricordarsi la legge oraria nel moto circolare uniformemente accelerato:

$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$

Nel nostro caso le due palline partono da ferme, ovvero $\omega_0 = 0$ per cui le leggi orarie per le due palline saranno:

$\begin{align*}\begin{cases}\theta_B = \theta_{B,0} + \frac{1}{2}\alpha_B t^2 \\[0.5em]\theta_R = \theta_{R,0} + \frac{1}{2}\alpha_R t^2\end{cases}\end{align*}$

Nel momento in cui la pallina rossa raggiunge la pallina blu le posizioni saranno identiche, ovvero $\theta_B = \theta_R$ , per cui:

$\theta_{B,0} + \frac{1}{2}\alpha_B t^2 = \theta_{R,0} + \frac{1}{2}\alpha_R t^2$

Ricordiamo che $\Delta \theta = \theta_{B,0} -\theta_{R,0} = \pi$ , per cui isoliamo $t$ nell’espressione precedente. Dopo alcuni semplici passaggi matematici otteniamo:

$t = \sqrt{\frac{2\Delta \theta}{\alpha_R - \alpha_B}} = 4,0 \ s$

Se la pallina rossa ha accelerazione angolare $\alpha_R = 0,5 \ rad/s^2$ il radicando diventa negativo per cui la radice è impossibile. Questo vuol dire che la pallina rossa NON raggiungerà mai la pallina blu.