Urti e quantità di moto – 15

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Sull’urto elastico con una sbarra

Una sbarra di lunghezza L = 5,0 \ m e massa M = 10 \ kg è vincolata a ruotare sul piano verticale intorno ad un perno posto in una delle due estremità, come mostrato in figura. Una pallina di massa m = 2,5 \ kg urta elasticamente con velocità v_i = 9,0 \ m/s la sbarra e rimbalza con velocità v_f = 8,5 \ m/s

  • Calcola la velocità angolare \omega della sbarra

Soluzione

Dal momento che l’urto è completamente elastico si conservano sia l’energia cinetica che la quantità di moto. Nel nostro caso utilizziamo la conservazione dell’energia cinetica:

    \[K_i = K_f\]

Esplicitando i termini otteniamo:

    \[\frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{2}I\omega^2\]

Con dei semplici passaggi matematici possiamo ricavare \omega:

    \[\omega = \sqrt{\frac{m(v_i^2 - v_f^2)}{I}}\]

Il momento di inerzia di una sbarra omogene di lunghezza L e massa M con asse di rotazione posto in una delle due estremità è:

    \[I = \frac{1}{3}ML^2\]

Sostituendo nell’espressione otteniamo infine:

    \[\omega = \sqrt{\frac{m(v_i^2 - v_f^2)}{\frac{1}{3}ML^2}} = 0,6 \ rad/s\]