Trasformazione politropica – 8

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Sul calcolo delle coordinate termodinamiche

Un gas perfetto monoatomico a temperatura $T_A = 215 \ K$ e pressione $P_A = 4,2 \cdot 10^4 \ Pa$ compie una trasformazione politropica con calore specifico costante $c_\alpha = 3R$ . Se il lavoro compiuto dal gas è $\mathcal L = 2,1 \cdot 10^3 \ J$ e la temperatura $T_B = 2T_A$

Calcola la pressione $P_B$

Soluzione

Per il Primo Principio della Termodinamica sappiamo che:

$\Delta U = Q - \mathcal L$

Esplicitiamo le espressioni della variazione di energia interna $\Delta U$ e del calore scambiato $Q$ :

$nc_v\Delta T = nc_\alpha \Delta T - \mathcal L$

Tramite un semplice passaggio matematico possiamo ottenere la seguente espressione per il numero di moli $n$ :

$n = \frac{- \mathcal L}{(c_v - c_\alpha)\Delta T}$

Sostituendo i dati cha abbiamo a disposizione otteniamo:

$n = \frac{-2,1 \cdot 10^3}{(3/2 \cdot 8,31 - 3 \cdot 8,31) \cdot 215} = 0,8 \ moli$

Sfruttiamo la seguente relazione per il lavoro

$\mathcal L = \frac{nR}{\alpha - 1}(T_A - T_B)$

da cui otteniamo:

$\begin{align*}\alpha &= 1 + \frac{nR}{\mathcal L}(T_A - T_B) = 1 + \frac{0,8 \cdot 8,31}{2,1 \cdot 10^3}(-215) \\&= 0,3 \end{align*}$

Quindi:

$P_AV_A^{0,3} = P_BV_B^{0,3}$

da cui:

$P_B = \frac{P_AV_A^{0,3}}{V_B^{0,3}}$

Usiamo l’equazione di stato dei gas perfetti per ottenere:

$V = \frac{nRT}{P}$

da cui:

$P_A\bigg(\frac{nRT_A}{P_A}\bigg)^{0,3} = P_B\bigg(\frac{nRT_B}{P_B}\bigg)^{0,3}$

Tramite dei semplici passaggi matematici otteniamo:

$P_B^{0,7} = P_A\bigg(\frac{nRT_A}{P_A}\bigg)^{0,3}\frac{1}{(nRT_B)^{0,3}}$

da cui:

$P_B = \bigg[P_A\bigg(\frac{nRT_A}{P_A}\bigg)^{0,3}\frac{1}{(nRT_B)^{0,3}}\bigg]^{1/0,7} = 3,1 \cdot 10^4 \ Pa$

In questo modo otteniamo le coordinate termodinamiche dello stato $A$ :

$\begin{align*}& V_A = \frac{nRT_A}{P_A} = 3,4 \cdot 10^{-2} \ m^3 \\& P_A = 4,2 \cdot 10^4 \ Pa \\& T_A = 215 \ K\end{align*}$

e dello stato $B$ :

$\begin{align*}& V_B = \frac{nRT_B}{P_B} = 9,2 \cdot 10^{-2} \ m^3 \\& P_B = 3,1 \cdot 10^4 \ Pa \\& T_B = 430 \ K\end{align*}$