Trasformazione politropica – 6

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Sull’equazione di una trasformazione politropica

Due moli di gas perfetto monoatomico compiono una trasformazione politropica per passare dallo stato iniziale A allo stato finale B. Il calore scambiato durante la trasformazione è Q = 4.2 \cdot 10^3 \ J mentre la variazione di temperatura è \Delta T = 70 \ K

  • Scrivi l’equazione della trasformazione

Soluzione

Per scrivere l’equazione della trasformazione politropica PV^\alpha = cost è necessario trovare l’esponente \alpha.

Per il Primo Principio della Termodinamica sappiamo che:

    \[\Delta U = Q - \mathcal L\]

Dal momento che il gas perfetto è monoatomico:

    \[\Delta U = nc_v\Delta T = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 8,31 \cdot 70 = 1,7 \cdot 10^3 \ J\]

Il lavoro sarà dunque pari a:

    \[\mathcal L = Q - \Delta U = 4,2 \cdot 10^3 - 1,7 \cdot 10^3 = 2,5 \cdot 10^3 \ J\]

Sfruttiamo la seguente relazione per il lavoro

    \[\mathcal L = \frac{nR}{\alpha - 1}(T_A - T_B) = \frac{nR}{\alpha - 1}(- \Delta T)\]

da cui otteniamo:

    \[\alpha = 1 + \frac{nR}{\mathcal L}( - \Delta T) = 1 + \frac{2 \cdot 8,31}{2,5 \cdot 10^3}(-70) = 0,5\]

L’equazione della trasformazione politropica sarà dunque:

    \[PV^{1/2} = cost\]