Trasformazione isocora - 7

Sul grafico P-V e la trasformazione isocora

Una mole di gas perfetto monoatomico compie una trasformazione isocora dallo stato $A$ allo stato $B$ in cui la temperatura è $T_B = 2,5 \cdot 10^2 \ K$ come mostrato in figura:

Calcola la temperatura $T_A$ dello stato $A$

Soluzione

Dalla figura osserviamo che nello stato $A$ e nello stato $B$ le coordinate termodinamiche che conosciamo sono:

$\begin{align*}\begin{cases}P_A = 1,0 \cdot 10^3 \ Pa \\P_B = 4,0 \cdot 10^3 \ Pa \\T_B = 2,5 \cdot 10^2 \ K\end{cases}\end{align*}$

Nota bene! Fai attenzione alle unità di misura nel grafico! La pressione è riportata in $kPa$ , quindi, per esprimere la pressione in $Pa$ è necessario moltiplicare il valore che osserviamo dal grafico per un fattore $10^3$ .

Dal momento che abbiamo a che fare con un gas perfetto possiamo usare l’equazione di stato dei gas perfetti:

$PV = nRT$

dove $n = 1,0$ è il numero di moli ed $R = 8,314 \ J/(mol \cdot K)$ è la costante universale dei gas.

La trasformazione è isocora, quindi i volumi nello stato $A$ e nello stato $B$ sono uguali, ovvero:

(1) $\begin{align*}V_A = V_B\end{align*}$

Usiamo l’equazione di stato dei gas perfetti per ricavarci l’espressione del volume:

$V = \frac{nRT}{P}$

Sostituiamola nell’espressione (1):

$\frac{nRT_A}{P_A} = \frac{nRT_B}{P_B}$

In questo modo, tramite un semplice passaggio matematico, possiamo ricavare l’espressione della temperatura nello stato $A$ , dopo aver semplificato $n$ ed $R$ :

$T_A = \frac{P_AT_B}{P_B} = 62 \ K$