Trasformazione isocora - 6

Sul calcolo dell’energia interna dal grafico di Clapeyron

Una mole di gas perfetto monoatomico compie una trasformazione isocora dallo stato $A$ allo stato $B$ come mostrato in figura:

Calcola l’energia interna $\Delta U$ della trasformazione

Soluzione

Dalla figura osserviamo che nello stato $A$ e nello stato $B$ la pressione ed il volume sono rispettivamente:

$\begin{align*}\begin{cases}P_A = 1,0 \cdot 10^3 \ Pa \\V_A = 2,0 \ m^3 \\P_B = 4,0 \cdot 10^3 \ Pa \\V_B = 2,0 \ m^3\end{cases}\end{align*}$

Nota bene! Fai attenzione alle unità di misura nel grafico! La pressione è riportata in $kPa$ , quindi, per esprimere la pressione in $Pa$ è necessario moltiplicare il valore che osserviamo dal grafico per un fattore $10^3$ .

Dal momento che abbiamo a che fare con un gas perfetto possiamo usare l’equazione di stato dei gas perfetti:

$PV = nRT$

dove $n = 1,0$ è il numero di moli ed $R = 8,314 \ J/(mol \cdot K)$ è la costante universale dei gas.

Dall’equazione di stato dei gas perfetti, tramite un semplice passaggio matematico, possiamo ricavarci la temperatura dello stato $A$ e dello stato $B$ :

$\begin{align*}\begin{cases}T_A = \dfrac{P_AV_A}{nR} = 2,4 \cdot 10^2 \ K \\[1em]T_B = \dfrac{P_BV_B}{nR} = 9,6 \cdot 10^2 \ K\end{cases}\end{align*}$

L’energia interna della trasformazione isocora dallo stato $A$ allo stato $B$ è:

$\Delta U = nc_v(T_B - T_A) = 9,0 \cdot 10^3 \ J$

dove $c_v = (3/2)R$ è il calore specifico a volume costante.