Primo Principio della Termodinamica - 9

Sul primo principio della termodinamica ed il calcolo della temperatura

In figura è mostrato un recipiente adiabatico contenente $n_1 = 1$ mole di gas perfetto biatomico (in arancione) alla temperatura $T_1 = 400 \ K$ ed $n_2 = 2$ moli di gas perfetto monoatomico (in verde) alla temperatura $T_2 = 300 \ K$ . In mezzo è presente una valvola che impedisce ai due gas di miscelarsi.

Se ad un certo istante la valvola viene sollevata i due gas si mescolano, come mostrato in figura, fino a raggiungere l’equilibrio termico:

Calcola la temperatura finale $T$ della miscela dei due gas

Soluzione

Innanzitutto, osserviamo che i due gas sono racchiusi all’interno di un recipiente adiabatico, per cui non avviene alcuno scambio di calore con l’ambiente esterno, per cui possiamo considerare il calore scambiato dalla miscela all’equilibrio termico sia nulla:

$Q = 0 \ J$

Inoltre, non viene compiuto nessun lavoro sul gas o dal gas dal momento che, al sollevamento della valvola, si ha un’espansione libera dei due gas, per cui:

$\mathcal{L} = 0 \ J$

Quindi, per il Primo Principio della Termodinamica, il sistema formato dai due gas verifica:

$\Delta U_1 + \Delta U_2 = 0$

Sostituiamo le espressioni delle variazioni dell’energia interna:

$n_1c_{v,1}(T - T_1) + n_2c_{v,2}(T - T_2)} = 0$

Tramite semplici passaggi matematici possiamo ricavare l’espressione della temperatura di equilibrio finale:

$T = \frac{n_1c_{v,1}T_1 + n_2c_{v,2}T_2}{n_1c_{v,1} + n_2c_{v,2}} = 345 \ K$