Primo Principio della Termodinamica – 10

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Sul ciclo termodinamico di un gas in un recipiente

Una mole di un gas perfetto biatomico si trova all’interno di un contenitore adiabatico e chiuso da un pistone mobile di area A = 0,5 \cdot 10^{-4} \ m^2 e massa trascurabile, come mostrato in figura. Sul pistone è poggiato un cubo di massa m = 5,0 \ kg ed il gas occupa un volume di V = 2,0 \cdot 10^{-4} \ m^3. Successivamente viene rimosso il cubo ed il gas si espande adiabaticamente fino a raggiungere un volume pari a V_B = 4,0 \cdot 10^{-4}. Trascurando la pressione atmosferica

  • Calcola il lavoro compiuto dal gas

Soluzione

La pressione P_c esercitata sul gas e dovuta alla presenza del cubo è pari a:

    \[P_c = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A} = 9,8 \cdot 10^5 \ Pa\]

Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti possiamo quindi ricavare la temperatura:

    \[T = \frac{PV}{nR} = 26 \ K\]

Per cui, se chiamiamo A lo stato iniziale, le coordinate termodinamiche dello stato A sono:

    \begin{align*}\begin{cases}P_A = 9,8 \cdot 10^5 \ Pa \\[.5em]T_A = \dfrac{PV}{nR} = 26 \ K \\[.5em]V_A = 2,0 \cdot 10^{-4} \ m^3\end{cases}\end{align*}

La trasformazione dallo stato A allo stato B è un’espansione adiabatica, per cui sappiamo che, come in qualsiasi trasformazione adiabatica, non c’è scambio di calore con l’esterno, ovvero:

    \[Q_{AB} = 0 \ J\]

Quindi, dal Primo Principio della Termodinamica, vale la seguente relazione:

    \[\mathcal{L}_{AB} = \Delta U_{AB} = nc_v(T_B - T_A)\]

Dal momento che abbiamo noto il volume V_B del gas nello stato B, applichiamo la seguente relazione per trovare la temperatura T_B:

    \[T_AV_A^{\gamma - 1} = T_BV_B^{\gamma - 1}\]

dove \gamma = 7/5 per un gas perfetto biatomico. Quindi, tramite semplici passaggi matematici, otteniamo:

    \[T_B = T_A\bigg(\frac{V_A}{V_B}\bigg)^{\gamma - 1} = 20 \ K\]

In questo modo possiamo ottenere:

    \[\mathcal{L}_{AB} = nc_v(T_B - T_A) = 1,2 \cdot 10^2 \ J\]