Primo Principio della Termodinamica – 5

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Sul lavoro totale dal piano di Clapeyron

Una mole di gas perfetto monoatomico compie il ciclo termodinamico mostrato in figura:

  • Calcola il lavoro totale \mathcal{L}

Soluzione

Consideriamo la trasformazione dallo stato A allo stato B. Come vediamo, questa è una trasformazione isobara per cui il lavoro si ottiene dalla relazione:

    \[\mathcal{L}_{AB} = P(V_B - V_A) = 2,0 \cdot 10^3 \ J\]

La trasformazione per andare dallo stato B allo stato C è una trasformazione isocora, per cui:

    \[\mathcal{L}_{BC} = 0 \ J\]

Osserviamo ora come la trasformazione dallo stato C allo stato A non è una trasformazione “nota”, ovvero non è una trasformazione isobara, isoterma, adiabatica o isocora. Possiamo però calcolare il lavoro \mathcal{L}_{CA} come l’area sottesa alla trasformazione.

In poche parole, calcoliamo l’area sotto il segmento che va dallo stato C allo stato A. Per semplicità dividiamola in due figura geometriche note, ovvero un rettangolo (verde) ed un triangolo (arancione):

Calcoliamo l’area del rettangolo A_r:

    \[A_r = - 2,0 \cdot 10^3 \ J\]

Calcoliamo l’area del triangolo A_t:

    \[A_t = - 2,0 \cdot 10^3 \ J\]

La somma delle due aree è l’area totale sottesa alla trasformazione, ovvero il lavoro compiuto durante il passaggio dallo stato A allo stato B:

    \[\mathcal{L}_{CA} = A_r + A_t = - 4,0 \cdot 10^3 \ J\]

Nota bene! Nella trasformazione per andare dallo stato C allo stato A il gas si comprime, ovvero \Delta V < 0, quindi il lavoro sarà negativo (\mathcal{L}_{CA} < 0).

Il lavoro totale compiuto durante il ciclo termodinamico è quindi:

    \[\mathcal{L}_{tot} = \mathcal{L}_{AB} + \mathcal{L}_{BC} + \mathcal{L}_{CA} = - 2,0 \cdot 10^3 \ J\]