Primo Principio della Termodinamica - 4

Sul lavoro totale e sulla rappresentazione sul piano di Clapeyron

Due moli ( $n = 2$ ) di gas perfetto biatomico alla pressione $P = 2,5 \cdot 10^3 \ Pa$ assorbono una quantità di calore pari a $Q_{AB} = 4,3 \cdot 10^3 \ J$ passando dallo stato $A$ a temperatura $T_A = 200 \ K$ allo stato $B$ a temperatura $T_B = 300 \ K$ tramite una trasformazione isobara. In seguito, il gas si espande dallo stato $B$ allo stato $C$ tramite un’espansione isoterma in cui assorbe una quantità di calore pari a $Q_{BC} = 2,4 \cdot 10^2 \ J$ raddoppiando il suo volume

Calcola il lavoro totale per passare dallo stato $A$ allo stato $C$
Disegna sul piano di Clapeyron le due trasformazioni indicando le coordinate termodinamiche di tutti e tre gli stati

Soluzione

Innanzitutto, ricordiamo che per un gas perfetto biatomico il calore specifico a volume costante è pari a:

$c_v = \frac{5}{2}R$

dove $R = 8,314 \ J/(mol \cdot K)$ è la costante universale dei gas.

In una trasformazione isobara il lavoro è pari a:

$\mathcal{L} = P\Delta V$

ma dal momento che non abbiamo informazioni sulla pressione né sul volume, possiamo applicare il Primo Principio della Termodinamica:

$\Delta U = Q - \mathcal{L}$

Il lavoro sarà dunque pari a:

$\mathcal{L}_{AB} = Q - \Delta U = Q - nc_v(T_B - T_A) = 1,4 \cdot 10^2 \ J$

La trasformazione per passare dallo stato $B$ allo stato $C$ è un’espansione isoterma, per cui la variazione di energia interna è nulla:

$\Delta U_{BC} = 0$

Dal Primo Principio della Termodinamica otteniamo quindi:

$\mathcal{L}_{BC} = Q_{BC} = 2,4 \cdot 10^2 \ J$

Il lavoro totale sarà quindi:

$\mathcal{L}_{tot} = \mathcal{L}_{AB} + \mathcal{L}_{BC} = 3,8 \cdot 10^2 \ J$

Per disegnare in modo preciso le due trasformazioni sul piano di Clapeyron è necessario ottenere le coordinate termodinamiche delle pressioni e dei volumi dei tre stati coinvolti.

Partendo dallo stato $A$ le coordinate termodinamiche sono:

$\begin{align*}\begin{cases}P_A = 2,5 \cdot 10^3 \ Pa \\[0.8em]V_A = \dfrac{nRT_A}{P_A} = 1,3 \ m^3\end{cases}\end{align*}$

Dal momento che la trasformazione dallo stato $A$ allo stato $B$ è una trasformazione isobara, la pressione verificherà $P_A = P_B$ e le coordinate termodinamiche nello stato $B$ saranno:

$\begin{align*}\begin{cases}P_B = 2,5 \cdot 10^3 \ Pa \\[0.8em]V_B = \dfrac{nRT_B}{P_B} = 2,0 \ m^3\end{cases}\end{align*}$

Dal momento che la trasformazione dallo stato $B$ allo stato $C$ è una trasformazione isoterma, la temperatura verificherà $T_B = T_C$ , Inoltre, nello stato $C$ il volume $V_C$ è raddoppiato per cui le coordinate termodinamiche saranno:

$\begin{align*}\begin{cases}V_C = 2V_B = 4,0 \ m^3 \\[0.8em]P_C = \dfrac{nRT_C}{V_C} = 1,2 \cdot 10^3 \ Pa\end{cases}\end{align*}$

La rappresentazione grafica delle due trasformazioni sul piano di Clapeyron è dunque: