Primo Principio della Termodinamica – 3

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Sul lavoro come area ed il calcolo del calore

Una mole di gas perfetto monoatomico si espande passando dallo stato A allo stato B come mostrato nel piano di Clapeyron in figura. Se la variazione di temperatura per andare dallo stato A allo stato B è \Delta T = T_B - T_A = 50 \ K

  • Calcola il calore scambiato Q nella trasformazione

Soluzione

Dalla figura possiamo ricavare i seguenti dati:

    \begin{align*}\begin{cases}V_A = 5,0 \ m^3 \\P_A = 4,0 \cdot 10^3 \ Pa \\V_B = 10 \ m^3 \\P_B = 8,0 \cdot 10^3 \ Pa\end{cases}\end{align*}

Per calcolare il calore scambiato possiamo sfruttare la formula del Primo Principio della Termodinamica:

    \[\Delta U = Q - \mathcal{L}\]

Tuttavia, la trasformazione non rientra in nessuna delle trasformazioni “note”, ovvero non è una trasformazione adiabatica, isoterma, isobara o isocora. Non abbiamo quindi una formula ben precisa per calcolarci il lavoro.

Possiamo quindi sfruttare la definizione di lavoro come “area sottesa alla trasformazione“. In poche parole, calcoliamo l’area sotto il segmento che va dallo stato A allo stato B. Per semplicità dividiamola in due figura geometriche note, ovvero un rettangolo (verde) ed un triangolo (arancione):

Calcoliamo l’area del rettangolo A_r:

    \[A_r = (10 - 5,0) \cdot (4,0 - 0) = 20 \ J\]

Calcoliamo l’area del triangolo A_t:

    \[A_t = \frac{1}{2} \cdot (10 - 5,0) \cdot (8,0 - 4,0) = 10 \ J\]

La somma delle due aree è l’area totale sottesa alla trasformazione, ovvero il lavoro compiuto durante il passaggio dallo stato A allo stato B:

    \[\mathcal{L} = A_r + A_t = 30 \ J\]

Quindi, dalla formula del Primo Principio della Termodinamica, possiamo ricavare:

    \[Q = \Delta U + \mathcal{L} = nc_v\Delta T + \mathcal{L} = 4,5 \cdot 10^2 \ J\]